Se os pontos de inflexão são aqueles onde a função muda a concavidade, apresente os pontos de inflexão das funções abaixo, descrevendo onde a concavidade é para baixo e para cima.
f(x) = 4x / (x^2 + 4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão! A gente precisa encontrar os pontos de inflexão da função . Isso tá ligado ao estudo de concavidade das funções na matéria de Cálculo Diferencial. Pra achar os pontos de inflexão, a gente vai precisar calcular a segunda derivada da função e ver onde ela muda de sinal, o que indica a mudança na concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente. Se temos , então . Aqui, e .
Calculando:
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Mais uma vez, usamos a regra do quociente para derivar . Temos:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Continuando a simplificação:
Fatorando o numerador:

Passo 4

Para encontrar os pontos de inflexão, a gente precisa ver onde ou onde não existe. Nesse caso, o denominador nunca é zero porque é sempre positivo. Então, vamos igualar o numerador a zero:
Isso dá:
ou ou
Simplificando :
Então, os valores críticos são , e .

Passo 5

Agora, vamos analisar o sinal de em cada intervalo formado por esses pontos para determinar a concavidade.
  1. Para :
    Escolha .
    Concavidade para cima.
  2. Para :
    Escolha .
    Concavidade para cima.
  3. Para :
    Escolha .
    Concavidade para baixo.
  4. Para :
    Escolha .
    Concavidade para baixo.

Resposta

Os pontos de inflexão da função são , e .
  • Concavidade para cima: nos intervalos e .
  • Concavidade para baixo: nos intervalos e .

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