Se os pontos de inflexão são aqueles onde a função muda a concavidade, apresente os pontos de inflexão das funções abaixo, descrevendo onde a concavidade é para baixo e para cima.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão! A gente precisa encontrar os pontos de inflexão da função
. Isso tá ligado ao estudo de concavidade das funções na matéria de Cálculo Diferencial. Pra achar os pontos de inflexão, a gente vai precisar calcular a segunda derivada da função e ver onde ela muda de sinal, o que indica a mudança na concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente. Se temos
, então
. Aqui,
e
.
Calculando:
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Mais uma vez, usamos a regra do quociente para derivar
. Temos:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Continuando a simplificação:
Fatorando o numerador:
Passo 4
Para encontrar os pontos de inflexão, a gente precisa ver onde
ou onde
não existe. Nesse caso, o denominador
nunca é zero porque
é sempre positivo. Então, vamos igualar o numerador a zero:
Isso dá:
Simplificando
:
Então, os valores críticos são
,
e
.
Passo 5
Agora, vamos analisar o sinal de
em cada intervalo formado por esses pontos para determinar a concavidade.
-
Para
:
Escolha.
Concavidade para cima. -
Para
:
Escolha.
Concavidade para cima. -
Para
:
Escolha.
Concavidade para baixo. -
Para
:
Escolha.
Concavidade para baixo.
Resposta
Os pontos de inflexão da função
são
,
e
.
- Concavidade para cima: nos intervalos
e . - Concavidade para baixo: nos intervalos
e .