Descreva onde a função abaixo tem máximo e mínimo
f(x) = x / (x - 3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir onde a função tem máximos e mínimos. Aqui, estamos lidando com cálculo, especificamente com análise de funções para encontrar pontos de máximo e mínimo. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções e analisar o comportamento da função em diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou decrescendo, o que é essencial para identificar máximos e mínimos.
A função é:
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função , sua derivada é:
Aqui, e . Vamos derivar cada parte:
Agora aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos analisar onde ela é igual a zero ou não está definida, pois esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos.
A derivada está definida para todo exceto quando , ou seja, . Nesse ponto, a função tem uma assíntota vertical e não está definida.
Para encontrar extremos, igualamos a derivada a zero:
No entanto, o numerador é sempre e o denominador é um quadrado, sempre positivo. Portanto, a derivada nunca é igual a zero.

Passo 4

Como a derivada nunca é zero e está sempre negativa (já que para todo ), isso significa que a função está sempre decrescendo em seu domínio.

Passo 5

Como a função está sempre decrescendo e não possui pontos onde a derivada é zero, concluímos que ela não tem máximos ou mínimos locais.

Resposta

A função não possui pontos de máximo ou mínimo.

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