Descreva onde a função abaixo tem máximo e mínimo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir onde a função
tem máximos e mínimos. Aqui, estamos lidando com cálculo, especificamente com análise de funções para encontrar pontos de máximo e mínimo. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções e analisar o comportamento da função em diferentes intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou decrescendo, o que é essencial para identificar máximos e mínimos.
A função é:
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função
, sua derivada é:
Aqui,
e
. Vamos derivar cada parte:
Agora aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos analisar onde ela é igual a zero ou não está definida, pois esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos.
A derivada está definida para todo
exceto quando
, ou seja,
. Nesse ponto, a função tem uma assíntota vertical e não está definida.
Para encontrar extremos, igualamos a derivada a zero:
No entanto, o numerador é sempre
e o denominador é um quadrado, sempre positivo. Portanto, a derivada nunca é igual a zero.
Passo 4
Como a derivada
nunca é zero e está sempre negativa (já que
para todo
), isso significa que a função
está sempre decrescendo em seu domínio.
Passo 5
Como a função está sempre decrescendo e não possui pontos onde a derivada é zero, concluímos que ela não tem máximos ou mínimos locais.
Resposta
A função
não possui pontos de máximo ou mínimo.