Em um experimento, as medidas de força e intervalos de tempo forneceram os seguintes resultados A partir dos dados, trace um gráfico de força em função do tempo.
c|c hline $F(kgf)$ & $t(s)$ hline 44 & 1,0 82 & 2,0 120 & 3,0 158 & 4,0 190 & 5,0 234 & 6,0 hline F=F(t)
44 1,0
82 2,0
120 3,0
158 4,0
190 5,0
234 6,0
Ajuste uma função linear, indicando a expressão analítica de R^2 e a qualidade do ajuste .

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício onde medimos a força ($ F F çã t $) e queremos traçar um gráfico dessa força em função do tempo. Depois, vamos ajustar uma função linear para esses dados, ou seja, encontrar uma equação que melhor representa essa relação linear entre $ F $ e $ t $. Além disso, vamos calcular a qualidade desse ajuste usando o coeficiente de determinação $ R^{2} $. Para isso, vamos precisar usar conceitos básicos de estatística e álgebra, como média, somas e fórmulas de regressão linear.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
c|c F(kgf) & t(s) hline 44 & 1,0 82 & 2,0 120 & 3,0 158 & 4,0 190 & 5,0 234 & 6,0
Vamos precisar calcular algumas somas para facilitar nossos cálculos depois:
sum F = 44 + 82 + 120 + 158 + 190 + 234 = 828
sum t = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
sum tF = (1 times 44) + (2 times 82) + (3 times 120) + (4 times 158) + (5 times 190) + (6 times 234) = 44 + 164 + 360 + 632 + 950 + 1404 = 3654
sum t^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91
n = 6 (número de pontos) ú

Passo 3

Agora, vamos usar as fórmulas da regressão linear para encontrar a inclinação ($ a a b $) da nossa função $ F(t) = a t + b $:
b
F(t) = a t + b
Vamos calcular $ a $ primeiro:
a = n sum tF - sum t sum Fn sum t^2 - (sum t)^2
Agora, calculamos $ b $:
b = sum F - a sum tn
Então, a nossa função linear ajustada é:
a

Passo 4

Agora, vamos calcular o coeficiente de determinação $ R^{2} $ para avaliar quão bem a nossa linha ajustada representa os dados. A fórmula para $ R^{2} $ é:
R^2
Primeiro, encontramos a média de $ F $:
R^2
Agora, calculamos a soma dos quadrados dos resíduos (diferença entre os valores observados e os previstos):
R^2 = 1 - sum (Fi - Fprevisto,i)^2sum (Fi - F)^2
Vamos calcular cada termo:
F
F = sum Fn = 8286 = 138
sum (Fi - Fprevisto,i)^2 = (44 - (43,2 times 1 - 13,2))^2 + dots + (234 - (43,2 times 6 - 13,2))^2
Fprevisto(1) = 43,2 times 1 - 13,2 = 30
(44 - 30)^2 = 196
Fprevisto(2) = 43,2 times 2 - 13,2 = 73,2 - 13,2 = 60
(82 - 60)^2 = 484
Fprevisto(3) = 43,2 times 3 - 13,2 = 129,6 - 13,2 = 116,4
(120 - 116,4)^2 = 12,96
Fprevisto(4) = 43,2 times 4 - 13,2 = 172,8 - 13,2 = 159,6
(158 - 159,6)^2 = 2,56
Fprevisto(5) = 43,2 times 5 - 13,2 = 216 - 13,2 = 202,8
Somando todos esses:
(190 - 202,8)^2 = 163,84
Agora, calculamos a soma total dos quadrados:
Fprevisto(6) = 43,2 times 6 - 13,2 = 259,2 - 13,2 = 246
(234 - 246)^2 = 144
Finalmente, calculamos $ R^{2} $:
sum (Fi - Fprevisto,i)^2 = 196 + 484 + 12,96 + 2,56 + 163,84 + 144 = 1003,36

Resposta

A função linear ajustada é $ F(t) = 43,2, t - 13,2 $ e a qualidade do ajuste é $ R^{2} \approx 0,9593 $.

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