[ 2,0 pontos] Um medidor de Venturi está montado na base de um tubo que conduz água. O diâmetro do tubo é e o do estrangulamento é de . O líquido manométrico é o mercúrio . Determinar a vazão da água no tubo, sendo a diferença de altura entre os dois níveis do mercúrio nos dois ramos do manômetro igual a .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem um medidor de Venturi instalado em um tubo que leva água. O diâmetro total do tubo é de e no ponto mais estreito (estrangulamento) é de . Usamos mercúrio no manômetro, que tem densidade de . A diferença de altura do mercúrio nos dois ramos do manômetro é de . A matéria envolvida aqui é a Hidrodinâmica, especificamente o Teorema de Bernoulli e a Equação da Continuidade. Vamos precisar usar essas duas coisas pra achar a vazão da água no tubo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Equação da Continuidade. Ela diz que, para um fluido incompressível, a vazão () é constante ao longo do tubo. Então, , onde é a velocidade da água e é a área da seção transversal. Como temos dois pontos: antes do estrangulamento (ponto 1) e no estrangulamento (ponto 2), podemos relacionar as velocidades:
Passo 3
Agora, vamos calcular as áreas das seções transversais nos dois pontos. A área de um círculo é , onde é o raio.
Para o ponto 1:
Diâmetro , então raio
Área
Para o ponto 2:
Diâmetro , então raio
Área
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teorema de Bernoulli, que relaciona a pressão e a velocidade do fluido em dois pontos diferentes:
A diferença de pressão entre os dois pontos é causada pela diferença de altura no manômetro:
Onde:
(densidade do mercúrio)
(diferença de altura)
é a aceleração da gravidade (vamos considerar para manter as unidades em cm).
Passo 5
Substituindo a diferença de pressão na equação de Bernoulli:
Lembrando que é a densidade da água, que é aproximadamente .
Passo 6
Substituindo pela relação que encontramos na Equação da Continuidade:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos isolar :
Vamos calcular o valor numérico.
Passo 8
Calculando os valores:
Primeiro,
Então:
Calculando o denominador:
Então:
Note que o resultado está dando raiz de um número negativo, o que não faz sentido físico. Isso indica que houve um erro nos cálculos anteriores.