[1,5 pontos ] Um lago está localizado numa região de grandes altitudes, em relação ao nível do mar. Neste lago, a profundidade média varia de 140 a 180 m . Se a medida da pressão absoluta a 70 m de profundidade do lago foi de 7,24 atm. Encontre a altitude em que se encontra o lago. Considere que ao nível do mar a pressão atmosférica seja de 1,0 atm e a densidade do ar igual a 1,22 kg / m^3. Dado: 1,0 atm=1,013 times 10^5 N / m^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre a pressão em um lago localizado em uma região de alta altitude. Vamos usar conceitos de física, especificamente da estática dos fluidos, para encontrar a altitude onde o lago está. Para isso, vamos precisar das fórmulas que relacionam pressão, densidade, gravidade e altura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a pressão absoluta a uma certa profundidade no lago é a soma da pressão atmosférica nessa altitude com a pressão exercida pela coluna de água acima desse ponto. A fórmula é:
Ptotal = Patm + rho cdot g cdot h
Onde:
  • é a pressão total a 70 m de profundidade (7,24 atm).
  • é a pressão atmosférica na altitude que queremos encontrar.
  • é a densidade da água (vamos considerar 1000 kg/m³).
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²).
  • é a profundidade (70 m).

Passo 3

Primeiro, vamos converter a pressão total de atm para N/m² usando a relação dada:
7,24 , atm = 7,24 times 1,013 times 10^5 , N/m² = 7,324 times 10^5 , N/m² ²²

Passo 4

Agora, vamos calcular a pressão exercida pela água:
Págua = rho cdot g cdot h = 1000 , kg/m³ times 9,81 , m/s² times 70 , m = 6,867 times 10^5 , N/m² á³²²

Passo 5

Sabemos que:
Ptotal = Patm + Págua á
Então, podemos rearranjar para encontrar Patm = Ptotal - Págua = 7,324 times 10^5 , N/m² - 6,867 times 10^5 , N/m² = 4,57 times 10^4 , N/m² :
á²²²

Passo 6

Agora, vamos converter essa pressão atmosférica para atm:
Patm = 4,57 times 10^4 , N/m²1,013 times 10^5 , N/m²/atm approx 0,452 , atm ²²

Passo 7

Para encontrar a altitude correspondente a essa pressão atmosférica, usamos a relação da variação da pressão com a altitude. Uma aproximação simples é considerar que a pressão diminui exponencialmente com a altitude:
P = P0 cdot e^-rhoar cdot g cdot hP0
Mas para simplificar, podemos usar a relação linear aproximada quando as altitudes não são muito altas:
De
Onde:
h = De³²

Passo 8

Calculando:
De
Convertendo para N/m²:
0,548 , atm = 0,548 times 1,013 times 10^5 , N/m² approx 5,54 times 10^4 , N/m² ²²
Então:
h = 5,54 times 10^4 , N/m²1,22 , kg/m³ times 9,81 , m/s² approx 4,64 times 10^3 , m ²³²

Resposta

A altitude em que se encontra o lago é aproximadamente 4.640 metros acima do nível do mar.

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