Neste problema, vamos usar os resultados do Problema 73 a fim de deduzir a Eq. 12-61, que relaciona a largura da curva de ressonância ao valor
, quando a ressonância for aguda. Na ressonância, o denominador da Eq. 12-67 é
e
tem o seu valor máximo. Numa ressonância aguda a variação de
no numerador da Eq. 12-67 pode ser desprezada. Então, a potência será a metade do seu valor máximo nos valores de
para os quais se possa escrever
como o valor do denominador. (a) Mostrar que nestas circunstâncias,
obedece a
(b) Com a aproximação
, mostrar que
© Mostrar, pela Eq. 12-56, que
está relacionado a
e a
por
(d) Combinar os resultados de (b) e de © para mostrar que existem dois valores de
para os quais a potência é igual à metade da potência na ressonância e que estes dois valores são.
Então,
, o que é equivalente à Eq. 12-61.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre ressonância aguda em física, que está relacionado com a largura da curva de ressonância e o fator de qualidade
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de ressonância e como
se relaciona com os parâmetros do sistema, como a massa
e o coeficiente de amortecimento
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício. A gente precisa mostrar que, nas condições dadas, a equação
é válida.
Sabendo que na ressonância aguda a potência
é metade do valor máximo, e que o denominador na Eq. 12-67 é
, podemos igualar isso na expressão da potência. Assim, conseguimos chegar nessa equação que relaciona
e
.
Passo 3
Na parte (b), a gente usa uma aproximação pra simplificar a equação. Ao assumir que
, a equação fica mais simples e conseguimos isolar
. Fazendo isso, chegamos à aproximação:
Essa simplificação ajuda a entender como a frequência
se comporta próxima à frequência natural
.
Passo 4
Agora, na parte ©, precisamos relacionar o fator de qualidade
com
e
. Usando a Eq. 12-56, mostramos que:
Isso nos dá uma maneira direta de entender como o amortecimento
e a massa
influenciam o fator de qualidade
.
Passo 5
Finalmente, na parte (d), a gente combina os resultados das partes (b) e ©. Substituindo a expressão de
em termos de
na aproximação que fizemos, encontramos os dois valores de
onde a potência é metade da potência na ressonância:
A diferença entre esses dois valores é
, que fica:
Isso nos leva à Eq. 12-61, que relaciona a largura da curva de ressonância com o fator de qualidade
.
Resposta
A largura da curva de ressonância é
, conforme a Eq. 12-61.
Exercícios relacionados
Três estrelas iguais, de massa
, formam um triângulo equilátero de lado
que gira em torno do centro do triângulo enquanto as estrelas se movem em uma mesma circunferência. Qual é a velocidade tangencial das estrelas?
Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio
e comprimento
, carregada com carga
, é envolta por uma casca cilíndrica, de raio
e mesmo comprimento
, carregada com uma carga
. Use a lei de Gauss para determinar:
a) o vetor campo elétrico a uma distância radial ;
b) o vetor campo elétrico a uma distância radial ;
c) a carga nas superfícies interna e externa da casca.
a) o vetor campo elétrico a uma distância radial
b) o vetor campo elétrico a uma distância radial
c) a carga nas superfícies interna e externa da casca.
[ 2,0 pontos] Um medidor de Venturi está montado na base de um tubo que conduz água. O diâmetro do tubo é
e o do estrangulamento é de
. O líquido manométrico é o mercúrio
. Determinar a vazão da água no tubo, sendo a diferença de altura entre os dois níveis do mercúrio nos dois ramos do manômetro igual a
.