Neste problema, vamos usar os resultados do Problema 73 a fim de deduzir a Eq. 12-61, que relaciona a largura da curva de ressonância ao valor Q, quando a ressonância for aguda. Na ressonância, o denominador da Eq. 12-67 é b^2 omega0^2 e Pm tem o seu valor máximo. Numa ressonância aguda a variação de omega no numerador da Eq. 12-67 pode ser desprezada. Então, a potência será a metade do seu valor máximo nos valores de omega para os quais se possa escrever 2 b^2 omega0^2 como o valor do denominador. (a) Mostrar que nestas circunstâncias, omega obedece a
m^2(omega-omega0)^2(omega+omega0)^2=b^2 omega0^2
(b) Com a aproximação omega+omega0 approx 2 omega0, mostrar que
omega-omega0 approx pm b2 m
© Mostrar, pela Eq. 12-56, que Q está relacionado a b e a m por
Q=m omega0b
(d) Combinar os resultados de (b) e de © para mostrar que existem dois valores de omega para os quais a potência é igual à metade da potência na ressonância e que estes dois valores são.
omega1=omega0-omega02 Q e omega2=omega0+omega02 Q
Então, omega2-omega1=De, o que é equivalente à Eq. 12-61.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre ressonância aguda em física, que está relacionado com a largura da curva de ressonância e o fator de qualidade . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de ressonância e como se relaciona com os parâmetros do sistema, como a massa e o coeficiente de amortecimento .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício. A gente precisa mostrar que, nas condições dadas, a equação
m^2(omega-omega0)^2(omega+omega0)^2=b^2 omega0^2
é válida.
Sabendo que na ressonância aguda a potência é metade do valor máximo, e que o denominador na Eq. 12-67 é , podemos igualar isso na expressão da potência. Assim, conseguimos chegar nessa equação que relaciona e .

Passo 3

Na parte (b), a gente usa uma aproximação pra simplificar a equação. Ao assumir que omega - omega0 approx pm b2 m , a equação fica mais simples e conseguimos isolar . Fazendo isso, chegamos à aproximação:
Essa simplificação ajuda a entender como a frequência se comporta próxima à frequência natural .

Passo 4

Agora, na parte ©, precisamos relacionar o fator de qualidade Q = m omega0b com e . Usando a Eq. 12-56, mostramos que:
Isso nos dá uma maneira direta de entender como o amortecimento e a massa influenciam o fator de qualidade .

Passo 5

Finalmente, na parte (d), a gente combina os resultados das partes (b) e ©. Substituindo a expressão de omega1 = omega0 - omega02 Q e omega2 = omega0 + omega02 Q em termos de De na aproximação que fizemos, encontramos os dois valores de onde a potência é metade da potência na ressonância:
A diferença entre esses dois valores é , que fica:
Isso nos leva à Eq. 12-61, que relaciona a largura da curva de ressonância com o fator de qualidade .

Resposta

A largura da curva de ressonância é , conforme a Eq. 12-61.

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