(4 pontos) Obtenha o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico em toda a região do espaço,
, onde
é a distância ao eixo de simetria do problema. Faça um desenho e indique todas as quantidades necessárias. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico! A gente precisa encontrar o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico em qualquer ponto do espaço, dependendo da distância
até o eixo de simetria do problema. Para isso, vamos usar a teoria de Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos com simetria específica.
Passo 2
Primeiro, é importante identificar a simetria do problema. Como mencionamos que
é a distância ao eixo de simetria, isso sugere que estamos lidando com uma simetria cilíndrica. Isso significa que o campo elétrico vai depender apenas da distância
e vai ser igual em todos os pontos que estão na mesma distância do eixo.
Passo 3
Com a simetria cilíndrica em mente, vamos escolher uma superfície gaussiana adequada. A melhor escolha é um cilindro imaginário que tem o mesmo eixo de simetria do problema. Esse cilindro tem raio
e comprimento
. A ideia é que, por causa da simetria, o campo elétrico será perpendicular à superfície lateral do cilindro e terá o mesmo valor em todos os pontos dessa superfície.
Passo 4
Agora, aplicamos a Lei de Gauss, que diz:
onde
é o campo elétrico,
é o elemento de área da superfície gaussiana,
é a carga elétrica total dentro da superfície, e
é a constante de permissividade do vácuo.
Como o campo elétrico é igual em toda a superfície lateral do cilindro e perpendicular a ela, a integral se simplifica para:
Aqui,
é a área lateral do cilindro.
Passo 5
Precisamos expressar
em termos da densidade de carga
(carga por unidade de comprimento). Então:
Substituindo na equação anterior:
Podemos cancelar o
de ambos os lados:
Então, o módulo do campo elétrico depende inversamente da distância
e é direcionado radialmente para fora (se
) ou para dentro (se
) do eixo de simetria.
Resposta
O campo elétrico em qualquer ponto do espaço é dado por:
Ele aponta radialmente para longe do eixo de simetria se a densidade de carga
for positiva, ou em direção ao eixo se
for negativa.
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. Faça uin desenho e indique todas as quantidades necessárias. Justifique sua resposta.
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.