(4 pontos) Obtenha o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico em toda a região do espaço, , onde é a distância ao eixo de simetria do problema. Faça um desenho e indique todas as quantidades necessárias. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico! A gente precisa encontrar o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico em qualquer ponto do espaço, dependendo da distância até o eixo de simetria do problema. Para isso, vamos usar a teoria de Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos com simetria específica.

Passo 2

Primeiro, é importante identificar a simetria do problema. Como mencionamos que é a distância ao eixo de simetria, isso sugere que estamos lidando com uma simetria cilíndrica. Isso significa que o campo elétrico vai depender apenas da distância e vai ser igual em todos os pontos que estão na mesma distância do eixo.

Passo 3

Com a simetria cilíndrica em mente, vamos escolher uma superfície gaussiana adequada. A melhor escolha é um cilindro imaginário que tem o mesmo eixo de simetria do problema. Esse cilindro tem raio e comprimento . A ideia é que, por causa da simetria, o campo elétrico será perpendicular à superfície lateral do cilindro e terá o mesmo valor em todos os pontos dessa superfície.

Passo 4

Agora, aplicamos a Lei de Gauss, que diz:
onde é o campo elétrico, é o elemento de área da superfície gaussiana, é a carga elétrica total dentro da superfície, e é a constante de permissividade do vácuo.
Como o campo elétrico é igual em toda a superfície lateral do cilindro e perpendicular a ela, a integral se simplifica para:
Aqui, é a área lateral do cilindro.

Passo 5

Precisamos expressar em termos da densidade de carga (carga por unidade de comprimento). Então:
Substituindo na equação anterior:
Podemos cancelar o de ambos os lados:
Então, o módulo do campo elétrico depende inversamente da distância e é direcionado radialmente para fora (se ) ou para dentro (se ) do eixo de simetria.

Resposta

O campo elétrico em qualquer ponto do espaço é dado por:
Ele aponta radialmente para longe do eixo de simetria se a densidade de carga for positiva, ou em direção ao eixo se for negativa.

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