Encontrar o vetor intensidade elétrica a partir da função potencial no ponto .

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o problema! A gente precisa encontrar o vetor intensidade elétrica , que está relacionado a uma função chamada potencial elétrico . A fórmula que vamos usar é . O enunciado nos dá a função e nos pede para encontrar no ponto . Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e depois multiplicar por .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior aumento de e tem magnitude igual à taxa de variação máxima de . Matematicamente, o gradiente é dado por:
Então, nossa missão é calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . A função é . Usando a regra da derivada para funções compostas, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Fazendo o mesmo processo:

Passo 5

Por último, calculamos a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos escrever o gradiente de :

Passo 7

Lembrando que a intensidade elétrica é o gradiente de multiplicado por , temos:

Passo 8

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto na expressão da intensidade elétrica:

Passo 9

Vamos calcular o denominador, que é a raiz quadrada de :

Passo 10

Substituindo de volta na expressão da :

Resposta

O vetor intensidade elétrica no ponto é:

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