Encontrar o vetor intensidade elétrica E=-grad V a partir da função potencial V=(x^2+y^2+z^2)^1 / 2 no ponto P(1,2,-2).

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o problema! A gente precisa encontrar o vetor intensidade elétrica E, que está relacionado a uma função chamada potencial elétrico V. A fórmula que vamos usar é E = -grad V. O enunciado nos dá a função V = raizx^2 + y^2 + z^2 e nos pede para encontrar E no ponto P(1,2,-2). Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função V e depois multiplicar por -1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função V(x,y,z) é um vetor que aponta na direção de maior aumento de V e tem magnitude igual à taxa de variação máxima de V. Matematicamente, o gradiente é dado por:
grad V = ( partial Vpartial x, partial Vpartial y, partial Vpartial z )
Então, nossa missão é calcular as derivadas parciais de V em relação a x, y e z.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de V em relação a x. A função é V = raizx^2 + y^2 + z^2. Usando a regra da derivada para funções compostas, temos:
partial Vpartial x = 12(x^2 + y^2 + z^2)^-1/2 cdot 2x = xraizx^2 + y^2 + z^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de V em relação a y. Fazendo o mesmo processo:
partial Vpartial y = 12(x^2 + y^2 + z^2)^-1/2 cdot 2y = yraizx^2 + y^2 + z^2

Passo 5

Por último, calculamos a derivada parcial de V em relação a z:
partial Vpartial z = 12(x^2 + y^2 + z^2)^-1/2 cdot 2z = zraizx^2 + y^2 + z^2

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos escrever o gradiente de V:
grad V = ( xraizx^2 + y^2 + z^2, yraizx^2 + y^2 + z^2, zraizx^2 + y^2 + z^2 )

Passo 7

Lembrando que a intensidade elétrica é o gradiente de V multiplicado por -1, temos:
E = -grad V = ( -xraizx^2 + y^2 + z^2, -yraizx^2 + y^2 + z^2, -zraizx^2 + y^2 + z^2 )

Passo 8

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto P(1,2,-2) na expressão da intensidade elétrica:
E = ( -1raiz1^2 + 2^2 + (-2)^2, -2raiz1^2 + 2^2 + (-2)^2, --2raiz1^2 + 2^2 + (-2)^2 )

Passo 9

Vamos calcular o denominador, que é a raiz quadrada de 1 + 4 + 4 = 9:
raiz9 = 3

Passo 10

Substituindo de volta na expressão da E:
E = ( -13, -23, 23 )

Resposta

O vetor intensidade elétrica no ponto P(1,2,-2) é:
E = ( -13, -23, 23 )

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