Encontrar o vetor intensidade elétrica
a partir da função potencial
no ponto
.
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o problema! A gente precisa encontrar o vetor intensidade elétrica
, que está relacionado a uma função chamada potencial elétrico
. A fórmula que vamos usar é
. O enunciado nos dá a função
e nos pede para encontrar
no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função
e depois multiplicar por
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção de maior aumento de
e tem magnitude igual à taxa de variação máxima de
. Matematicamente, o gradiente é dado por:
Então, nossa missão é calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. A função é
. Usando a regra da derivada para funções compostas, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Fazendo o mesmo processo:
Passo 5
Por último, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos escrever o gradiente de
:
Passo 7
Lembrando que a intensidade elétrica é o gradiente de
multiplicado por
, temos:
Passo 8
Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto
na expressão da intensidade elétrica:
Passo 9
Vamos calcular o denominador, que é a raiz quadrada de
:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão da
:
Resposta
O vetor intensidade elétrica no ponto
é:
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. Faça uin desenho e indique todas as quantidades necessárias. Justifique sua resposta.
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, onde
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Determinar os pontos críticos da função, classificando-os, quando possível.