A vector field with only curved flux lines can have a nonzero divergence. True or false? Explain.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está perguntando: temos um campo vetorial onde as linhas de fluxo são todas curvas, ou seja, não têm fontes nem sumidouros aparentes. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, mais especificamente os conceitos de divergência e linhas de fluxo. Para resolver, vamos precisar entender o que significa a divergência de um campo vetorial e como isso se relaciona com as linhas de fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre divergência. A divergência de um campo vetorial, denotada por
, mede a quantidade de “fluxo” que está saindo ou entrando em um ponto. Se a divergência for positiva num ponto, significa que há uma fonte ali; se for negativa, há um sumidouro. Se a divergência for zero, significa que não há nem fonte nem sumidouro nesse ponto.
Passo 3
Agora, considerando que as linhas de fluxo são todas curvas e não têm começo nem fim (ou seja, não há pontos onde elas “nascem” ou “terminam”), isso implica que não há fontes nem sumidouros no campo vetorial. Portanto, não há acumulação nem diminuição de fluxo em nenhum ponto do espaço.
Resposta
Falso. Um campo vetorial com apenas linhas de fluxo curvas não possui divergência diferente de zero, pois não há fontes nem sumidouros.