( 2,5 pontos) Uma partícula puntiforme de carga
é colocada no centro de uma casca esférica não condutora cujo raio interno é
e raio externo
. A casca esférica possui uma distribuição de carga uniforme de densidade
. Um próton se move em uma órbita circular de raio
do lado de fora da casca esférica. Calcule o módulo, direção e sentido da força elétrica sobre o próton.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver. Temos uma partícula com carga
no centro de uma casca esférica não condutora com raios interno
e externo
. A casca tem uma distribuição de carga uniforme com densidade
. Além disso, há um próton se movendo em uma órbita circular de raio
fora da casca esférica. Precisamos calcular o módulo, direção e sentido da força elétrica que age sobre o próton.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico no ponto onde o próton está. Depois, aplicaremos a fórmula da força elétrica
para encontrar a força sobre o próton.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a carga total da casca esférica. A densidade de carga
é a carga por unidade de volume. O volume da casca esférica é a diferença entre o volume da esfera de raio
e a esfera de raio
.
A fórmula para o volume de uma esfera é
. Assim, o volume da casca é:
A carga total da casca,
, é então:
Passo 3
Agora, vamos determinar a carga total encerrada pela superfície gaussiana que passa pelo ponto onde o próton está, ou seja, uma esfera de raio
onde
. A carga total encerrada,
, inclui a carga central
e a carga da casca
:
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss, o campo elétrico
em um ponto fora da distribuição de carga (neste caso, no raio
) é dado por:
Aqui,
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 5
Agora, vamos calcular a força elétrica
sobre o próton. A fórmula da força elétrica é:
Onde
é a carga do próton, que é positiva (
).
Substituindo o valor de
:
Passo 6
Vamos analisar a direção e o sentido da força. Como o próton tem carga positiva e o campo elétrico é gerado por uma carga total
que pode ser positiva ou negativa:
- Se
, o campo elétrico aponta para fora da esfera, e a força sobre o próton também será para fora. - Se
, o campo elétrico aponta para dentro da esfera, e a força sobre o próton será para dentro.
Resposta
A força elétrica sobre o próton tem módulo:
A direção da força é radial (aponta diretamente para o centro ou para fora, dependendo do sinal da carga total encerrada). O sentido da força é para dentro se a carga total encerrada for negativa e para fora se for positiva.