( 2,5 pontos) Uma partícula puntiforme de carga -q é colocada no centro de uma casca esférica não condutora cujo raio interno é ra e raio externo rb. A casca esférica possui uma distribuição de carga uniforme de densidade -rho. Um próton se move em uma órbita circular de raio R do lado de fora da casca esférica. Calcule o módulo, direção e sentido da força elétrica sobre o próton.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver. Temos uma partícula com carga no centro de uma casca esférica não condutora com raios interno e externo . A casca tem uma distribuição de carga uniforme com densidade . Além disso, há um próton se movendo em uma órbita circular de raio fora da casca esférica. Precisamos calcular o módulo, direção e sentido da força elétrica que age sobre o próton.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico no ponto onde o próton está. Depois, aplicaremos a fórmula da força elétrica para encontrar a força sobre o próton.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total da casca esférica. A densidade de carga Vcasca = 43pi (rb^3 - ra^3) é a carga por unidade de volume. O volume da casca esférica é a diferença entre o volume da esfera de raio Qcasca = -rho times Vcasca = -rho times 43pi (rb^3 - ra^3) e a esfera de raio .
A fórmula para o volume de uma esfera é . Assim, o volume da casca é:
A carga total da casca, , é então:

Passo 3

Agora, vamos determinar a carga total encerrada pela superfície gaussiana que passa pelo ponto onde o próton está, ou seja, uma esfera de raio Qenc = -q + Qcasca = -q - rho times 43pi (rb^3 - ra^3) onde . A carga total encerrada, , inclui a carga central e a carga da casca :

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss, o campo elétrico E = 14pivarepsilon0 QencR^2 em um ponto fora da distribuição de carga (neste caso, no raio ) é dado por:
Aqui, é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 5

Agora, vamos calcular a força elétrica F = qp E sobre o próton. A fórmula da força elétrica é:
F = e times 14pivarepsilon0 QencR^2
Onde é a carga do próton, que é positiva ( ).
Substituindo o valor de :

Passo 6

Vamos analisar a direção e o sentido da força. Como o próton tem carga positiva e o campo elétrico é gerado por uma carga total que pode ser positiva ou negativa:
  • Se , o campo elétrico aponta para fora da esfera, e a força sobre o próton também será para fora.
  • Se , o campo elétrico aponta para dentro da esfera, e a força sobre o próton será para dentro.

Resposta

A força elétrica sobre o próton tem módulo:
F = e4pivarepsilon0 times -q - rho times 43pi (rb^3 - ra^3) R^2
A direção da força é radial (aponta diretamente para o centro ou para fora, dependendo do sinal da carga total encerrada). O sentido da força é para dentro se a carga total encerrada for negativa e para fora se for positiva.

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