Given
& A=ax-ay 2+az 3, & B=ax+ay-az 2
find the expression for a unit vector C that is perpendicular to both A and B.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui são duas vetores, A = ax - 2,ay + 3,az B = ax + ay - 2,az e , definidos pelas coordenadas:
O objetivo é encontrar um vetor unitário que seja perpendicular a ambos e . Para isso, vamos usar o conceito de produto vetorial e normalização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. Então, vamos calcular .

Passo 3

Para calcular o produto vetorial A times B = ax & ay & az 1 & -2 & 3 1 & 1 & -2 , usamos a seguinte fórmula determinante:
A times B = ax cdot (-2 cdot (-2) - 3 cdot 1) - ay cdot (1 cdot (-2) - 3 cdot 1) + az cdot (1 cdot 1 - (-2) cdot 1)
Então, expandindo o determinante:

Passo 4

Calculando cada componente:
ax &: (-2)(-2) - 3(1) = 4 - 3 = 1 ay &: -(1 cdot (-2) - 3 cdot 1) = -(-2 - 3) = 5 az &: 1 cdot 1 - (-2) cdot 1 = 1 + 2 = 3
Então:
A times B = 1,ax + 5,ay + 3,az

Passo 5

Agora que temos o vetor perpendicular, precisamos transformá-lo em um vetor unitário. Para isso, calculamos o módulo (ou comprimento) do vetor |A times B| = raiz1^2 + 5^2 + 3^2 = raiz1 + 25 + 9 = raiz35 :

Passo 6

Por fim, dividimos cada componente do vetor C = 1raiz35,ax + 5raiz35,ay + 3raiz35,az pelo seu módulo para obter o vetor unitário :

Resposta

O vetor unitário C = 1raiz35,ax + 5raiz35,ay + 3raiz35,az perpendicular a e é:

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