The three corners of a triangle are at P1(0,1,-2), P2(4,1,-3), and P3(6,2,5).
a) Determine whether triang<= P1 P2 P3 is a right triangle.
b) Find the area of the triangle.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com os vértices nas coordenadas P1(0,1,-2), P2(4,1,-3) e P3(6,2,5). Vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica, como a fórmula da distância no espaço tridimensional e propriedades dos triângulos retângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as distâncias entre cada par de pontos para saber os comprimentos dos lados do triângulo. A fórmula da distância entre dois pontos no espaço é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2

Passo 3

Calculando a distância entre P1 e P2:
d12 = raiz(4 - 0)^2 + (1 - 1)^2 + (-3 - (-2))^2 = raiz16 + 0 + 1 = raiz17

Passo 4

Calculando a distância entre P1 e P3:
d13 = raiz(6 - 0)^2 + (2 - 1)^2 + (5 - (-2))^2 = raiz36 + 1 + 49 = raiz86

Passo 5

Calculando a distância entre P2 e P3:
d23 = raiz(6 - 4)^2 + (2 - 1)^2 + (5 - (-3))^2 = raiz4 + 1 + 64 = raiz69

Passo 6

Agora que temos os comprimentos dos lados: d12 = raiz17, d13 = raiz86 e d23 = raiz69, vamos verificar se o triângulo é retângulo. Para isso, vamos ver se algum dos lados satisfaz o Teorema de Pitágoras, ou seja, se o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois.
Vamos verificar as três possibilidades:
  1. d12^2 + d23^2 = (raiz17)^2 + (raiz69)^2 = 17 + 69 = 86 que é igual a d13^2 = 86
  2. d12^2 + d13^2 = 17 + 86 = 103 neq (raiz69)^2 = 69
  3. d23^2 + d13^2 = 69 + 86 = 155 neq (raiz17)^2 = 17

Passo 7

Como a soma dos quadrados de d12 e d23 é igual ao quadrado de d13, isso significa que o triângulo triang<= P1P2P3 é um triângulo retângulo, com o ângulo reto em P2.

Passo 8

Agora, vamos calcular a área desse triângulo. Como já sabemos que é um triângulo retângulo, podemos usar a fórmula simples da área:
Área = 12 times base times aÁ
Aqui, a base e a altura são os dois lados que formam o ângulo reto.

Passo 9

Identificamos que os lados d12 e d23 formam o ângulo reto em P2. Então:
Área = 12 times raiz17 times raiz69 Á

Passo 10

Simplificando:
Área = 12 times raiz1173 = raiz11732 Á
Podemos simplificar raiz1173:
raiz1173 = raiz9 times 13 times 9 = 3 times raiz13 times 3 = 9raiz13
Então:
Área = 9raiz132 Á

Resposta

b) A área do triângulo é 9raiz132 unidades quadradas.

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