The three corners of a triangle are at
, and
.
a) Determine whether
is a right triangle.
b) Find the area of the triangle.
a) Determine whether
b) Find the area of the triangle.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com os vértices nas coordenadas
,
e
. Vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica, como a fórmula da distância no espaço tridimensional e propriedades dos triângulos retângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as distâncias entre cada par de pontos para saber os comprimentos dos lados do triângulo. A fórmula da distância entre dois pontos no espaço é:
Passo 3
Calculando a distância entre
e
:
Passo 4
Calculando a distância entre
e
:
Passo 5
Calculando a distância entre
e
:
Passo 6
Agora que temos os comprimentos dos lados:
,
e
, vamos verificar se o triângulo é retângulo. Para isso, vamos ver se algum dos lados satisfaz o Teorema de Pitágoras, ou seja, se o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois.
Vamos verificar as três possibilidades:
-
que é igual a -
-
Passo 7
Como a soma dos quadrados de
e
é igual ao quadrado de
, isso significa que o triângulo
é um triângulo retângulo, com o ângulo reto em
.
Passo 8
Agora, vamos calcular a área desse triângulo. Como já sabemos que é um triângulo retângulo, podemos usar a fórmula simples da área:
Aqui, a base e a altura são os dois lados que formam o ângulo reto.
Passo 9
Identificamos que os lados
e
formam o ângulo reto em
. Então:
Passo 10
Simplificando:
Podemos simplificar
:
Então:
Resposta
b) A área do triângulo é
unidades quadradas.