(3 pontos) No processo de purificação da água, podemos utilizar a chamada filtração por membrana. Em um experimento queremos determinar a relação entre a pressão na membrana e o fluxo, por área, através da membrana. A tabela a seguir mostra os valores medidos.
Pressão 1.02 2.08 2.89 4.01 5.32 5.83 7.26 7.96 9.11 9.99
Fluxo 1.15 0.85 1.56 1.72 4.32 5.07 5.00 5.31 6.17 7.04
f) A regressão linear obtida é uma boa representação dos dados? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se a regressão linear que obtemos é uma boa representação dos dados do experimento de filtração por membrana. Ou seja, queremos ver se a relação entre a pressão na membrana (x) e o fluxo por área (y) pode ser bem descrita por uma linha reta. Para resolver isso, vamos usar a análise de regressão linear e verificar o coeficiente de determinação , que nos ajuda a entender o quão bem a linha se ajusta aos dados.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular alguns valores essenciais para montar a nossa regressão linear. Vamos calcular:
  • A média de ( )
  • A média de ( )
  • A soma dos produtos ( )
  • A soma dos quadrados de ( )
  • A soma dos quadrados de ( )
Esses cálculos são fundamentais para determinar os coeficientes da nossa reta de regressão.

Passo 3

Com os valores calculados, podemos determinar os coeficientes (intercepto) e (inclinação) da nossa reta de regressão usando as fórmulas:
Onde é o número de pontos de dados.

Passo 4

Depois de obter e , nossa equação da reta fica:
Agora, para verificar se essa linha representa bem os dados, vamos calcular o coeficiente de determinação , que indica a proporção da variabilidade em que é explicada por . A fórmula é:

Passo 5

Com o valor de calculado, interpretamos o resultado:
  • Se estiver próximo de 1, significa que a regressão linear explica bem a variação dos dados.
  • Se estiver próximo de 0, a regressão linear não é uma boa representação.
Além disso, podemos analisar graficamente os resíduos (diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela regressão) para ver se há padrões que indicam que a linearidade não é adequada.

Resposta

Após calcularmos o coeficiente de determinação e analisarmos os resíduos, verificamos que é alto (próximo a 1), indicando que a regressão linear explica bem a variação dos dados. Além disso, os resíduos não apresentam padrões significativos, confirmando que a relação entre pressão e fluxo é bem representada por uma linha reta. Portanto, a regressão linear obtida é uma boa representação dos dados.

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Teste a hipótese de que , usando . Que conclusões você pode tirar?
(3 pontos) No processo de purificação da água, podemos utilizar a chamada filtração por membrana. Em um experimento queremos determinar a relação entre a pressão na membrana e o fluxo, por área, através da membrana. A tabela a seguir mostra os valores medidos.
Pressão 1.02 2.08 2.89 4.01 5.32 5.83 7.26 7.96 9.11 9.99
Fluxo 1.15 0.85 1.56 1.72 4.32 5.07 5.00 5.31 6.17 7.04
c) Represente a reta de regressão no gráfico feito anteriormente.
Considere o teste de hipóteses contra , com variâncias conhecidas e . Suponha que os tamanhos de amostra sejam e e que e . Use .
a) Teste a hipótese e encontre o valor .
0 diâmetro de bastões de aço, fabricados em duas maquinas extrusoras diferentes, esta sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanhos e são selecionadas e as médias e variâncias das amostras são , e e , respectivamente. Suponha que e que os dados sejam retirados de uma população normal.
b) Construa um intervalo de confiança de 95% para a diferença no diâmetro médio dos bastões. Interprete esse intervalo.