( 9 pontos) 1^ a Questão: Determine o centro de massa de um cilindro com a base no plano xy centrada na origem. A densidade do cilindro é rho=200 z kg / m^3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos determinar o centro de massa de um cilindro cuja base está no plano xy e centralizada na origem. A densidade do cilindro varia com a coordenada z e é dada por .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral para calcular as coordenadas do centro de massa, considerando a distribuição de densidade no cilindro.

Passo 2

O centro de massa x = 1M integral x , dm, y = 1M integral y , dm, z = 1M integral z , dm de um objeto é dado pelas fórmulas:
onde é a massa total do cilindro e é um elemento de massa.

Passo 3

Como o cilindro está centralizado na origem e a densidade depende apenas de x = 0 e y = 0 , pela simetria, sabemos que:
Portanto, precisamos apenas calcular .

Passo 4

Vamos calcular a massa total M = integral dm = integral rho , dV do cilindro. Suponhamos que o cilindro tenha altura M = integral0^h integral0^2pi integral0^R 200z cdot r , dr , dtheta , dz = 200 integral0^h z ( integral0^2pi dtheta ) ( integral0^R r , dr ) dz e raio integral0^2pi dtheta = 2pi, integral0^R r , dr = R^22 . A massa total é dada por:
M = 200 cdot 2pi cdot R^22 integral0^h z , dz = 200pi R^2 [ z^22 ]0^h = 200pi R^2 cdot h^22 = 100pi R^2 h^2
Como , em coordenadas cilíndricas, o volume infinitesimal é . Portanto:
Calculando as integrais internas:
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a coordenada z = 1M integral z , dm = 1M integral z cdot rho , dV = 1M integral0^h integral0^2pi integral0^R z cdot 200z cdot r , dr , dtheta , dz :
z = 200M integral0^h z^2 ( integral0^2pi dtheta ) ( integral0^R r , dr ) dz = 200M cdot 2pi cdot R^22 integral0^h z^2 , dz
Simplificando:
integral0^h z^2 , dz = h^33
Calculando a integral:
z = 200 cdot 2pi cdot R^22 cdot h^33100pi R^2 h^2 = 200 cdot pi R^2 cdot h^33100pi R^2 h^2 = 200 cdot h^33100 h^2 = 200h300 = 2h3
Então:

Resposta

O centro de massa do cilindro está localizado em .

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