( 9 pontos) Questão: Determine o centro de massa de um cilindro com a base no plano xy centrada na origem. A densidade do cilindro é .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos determinar o centro de massa de um cilindro cuja base está no plano xy e centralizada na origem. A densidade do cilindro varia com a coordenada z e é dada por .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral para calcular as coordenadas do centro de massa, considerando a distribuição de densidade no cilindro.

Passo 2

O centro de massa de um objeto é dado pelas fórmulas:
onde é a massa total do cilindro e é um elemento de massa.

Passo 3

Como o cilindro está centralizado na origem e a densidade depende apenas de , pela simetria, sabemos que:
Portanto, precisamos apenas calcular .

Passo 4

Vamos calcular a massa total do cilindro. Suponhamos que o cilindro tenha altura e raio . A massa total é dada por:
Como , em coordenadas cilíndricas, o volume infinitesimal é . Portanto:
Calculando as integrais internas:
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a coordenada :
Simplificando:
Calculando a integral:
Então:

Resposta

O centro de massa do cilindro está localizado em .

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