( 9 pontos) Questão: Determine o centro de massa de um cilindro com a base no plano xy centrada na origem. A densidade do cilindro é .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos determinar o centro de massa de um cilindro cuja base está no plano xy e centralizada na origem. A densidade do cilindro varia com a coordenada z e é dada por .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral para calcular as coordenadas do centro de massa, considerando a distribuição de densidade no cilindro.
Passo 2
O centro de massa de um objeto é dado pelas fórmulas:
onde é a massa total do cilindro e é um elemento de massa.
Passo 3
Como o cilindro está centralizado na origem e a densidade depende apenas de x = 0 e y = 0 , pela simetria, sabemos que:
Portanto, precisamos apenas calcular .
Passo 4
Vamos calcular a massa total M = integral dm = integral rho , dV do cilindro. Suponhamos que o cilindro tenha altura M = integral0^h integral0^2pi integral0^R 200z cdot r , dr , dtheta , dz = 200 integral0^h z ( integral0^2pi dtheta ) ( integral0^R r , dr ) dz e raio integral0^2pi dtheta = 2pi, integral0^R r , dr = R^22 . A massa total é dada por:
Como , em coordenadas cilíndricas, o volume infinitesimal é . Portanto:
Calculando as integrais internas:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a coordenada z = 1M integral z , dm = 1M integral z cdot rho , dV = 1M integral0^h integral0^2pi integral0^R z cdot 200z cdot r , dr , dtheta , dz :
z = 200M integral0^h z^2 ( integral0^2pi dtheta ) ( integral0^R r , dr ) dz = 200M cdot 2pi cdot R^22 integral0^h z^2 , dz