( 9 pontos)3
Questão: Determine o momento de inércia de massa do cone, com a base no plano xy centrada na origem. A densidade do cone é
(constante) o raio é
e o comprimento
. (Dica: o momento de inércia do cilindro é
)
Passo 1
Então, a gente tem um cone com base no plano xy, centrado na origem. A densidade do cone é constante, representada por
. O raio da base é
e a altura do cone é
. A missão aqui é calcular o momento de inércia desse cone. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como calcular momentos de inércia e usar integração para somar os momentos de várias partes pequenas do cone.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia (
) mede como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. No nosso caso, vamos calcular o momento de inércia em torno do eixo central do cone (que é perpendicular à base). Para facilitar, vamos dividir o cone em infinitas fatias horizontais fininhas, cada uma com uma massa pequena
e raio
, onde
é a altura desde a base até o topo do cone.
Passo 3
Agora, precisamos expressar o raio de cada fatia
em função da altura
. Como o cone tem raio
na base (
) e tipa em
com raio 0, a relação é linear:
Isso significa que conforme a altura
aumenta, o raio da fatia diminui proporcionalmente.
Passo 4
Vamos calcular a massa de uma fatia fininha do cone. A densidade
é massa por volume, então a massa da fatia
é:
Onde
é o volume da fatia. Como a fatia é como um pequeno cilindro, temos:
Portanto:
Passo 5
O momento de inércia de cada fatia (
) em relação ao eixo central é dado por:
Substituindo
e
:
Passo 6
Para encontrar o momento de inércia total (
), precisamos integrar
de
até
:
Fazendo a integração:
Vamos substituir
, então
, e os limites de integração se tornam de
para
:
Resposta
O momento de inércia do cone em relação ao eixo central é:
onde
é a massa do cone.