( 9 pontos)3 ^a Questão: Determine o momento de inércia de massa do cone, com a base no plano xy centrada na origem. A densidade do cone é rho (constante) o raio é r e o comprimento h. (Dica: o momento de inércia do cilindro é I=12 mr^2 )

Passo 1

Então, a gente tem um cone com base no plano xy, centrado na origem. A densidade do cone é constante, representada por . O raio da base é e a altura do cone é . A missão aqui é calcular o momento de inércia desse cone. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como calcular momentos de inércia e usar integração para somar os momentos de várias partes pequenas do cone.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia ( ) mede como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. No nosso caso, vamos calcular o momento de inércia em torno do eixo central do cone (que é perpendicular à base). Para facilitar, vamos dividir o cone em infinitas fatias horizontais fininhas, cada uma com uma massa pequena e raio , onde é a altura desde a base até o topo do cone.

Passo 3

Agora, precisamos expressar o raio de cada fatia r(z) = r (1 - zh) em função da altura . Como o cone tem raio na base ( ) e tipa em com raio 0, a relação é linear:
Isso significa que conforme a altura aumenta, o raio da fatia diminui proporcionalmente.

Passo 4

Vamos calcular a massa de uma fatia fininha do cone. A densidade dm = rho cdot dV é massa por volume, então a massa da fatia dV = pi [r(z)]^2 dz = pi [r (1 - zh)]^2 dz é:
dm = rho pi r^2 (1 - zh)^2 dz
Onde é o volume da fatia. Como a fatia é como um pequeno cilindro, temos:
Portanto:

Passo 5

O momento de inércia de cada fatia ( dI = 12 dm [r(z)]^2 ) em relação ao eixo central é dado por:
dI = 12 rho pi r^2 (1 - zh)^2 cdot r^2 (1 - zh)^2 dz = 12 rho pi r^4 (1 - zh)^4 dz
Substituindo e :

Passo 6

Para encontrar o momento de inércia total ( I = integral0^h 12 rho pi r^4 (1 - zh)^4 dz ), precisamos integrar I = 12 rho pi r^4 integral0^h (1 - zh)^4 dz de I = 12 rho pi r^4 h integral0^1 u^4 du = 12 rho pi r^4 h [u^55]0^1 = 12 rho pi r^4 h cdot 15 = 110 rho pi r^4 h até :
Fazendo a integração:
Vamos substituir , então , e os limites de integração se tornam de para :

Resposta

O momento de inércia do cone em relação ao eixo central é:
I = 310 m r^2
onde é a massa do cone.

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