(7 pontos)
Questão: Determine o produto de inércia
de triângulo retângulo no plano
de altura
. Um dos catetos está ao longo do eixo
e possui comprimento
o segundo cateto está ao longo da reta
e possui comprimento
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para a gente encontrar o produto de inércia
de um triângulo retângulo no plano
. O triângulo tem uma altura
, um cateto de comprimento
ao longo do eixo
e o outro cateto de comprimento
ao longo da reta
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é produto de inércia e como calcular integrais duplas sobre áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o produto de inércia
. Ele é uma medida que relaciona a distribuição da área em relação aos eixos
e
. A fórmula para calcular
é:
Isso significa que precisamos integrar o produto das coordenadas
e
sobre toda a área
do triângulo.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites da nossa integral dupla. Como um dos catetos está ao longo do eixo
de
a
e o outro cateto está ao longo de
de
a
, podemos descrever a área do triângulo com
variando de
a
e, para cada
,
varia de
a uma função linear que representa a hipotenusa.
Passo 4
Encontrar a equação da hipotenusa. Como a hipotenusa liga os pontos
e
, sua equação é:
Assim, para cada valor de
,
vai de
até
.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral dupla para
:
Primeiro, integramos em relação a
, mantendo
constante.
Passo 6
Calculando a integral interna:
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a
:
A integral de
de
a
é
.
Passo 8
Substituindo na expressão:
Resposta
O produto de inércia
do triângulo retângulo é:
Exercícios relacionados
( 9 pontos)
Questão: Determine o centro de massa de um cilindro com a base no plano xy centrada na origem. A densidade do cilindro é
.
Explique como o teor de carbono no aço e a temperatura afetam o comportamento do material em termos de ductilidade e fragilidade. Dê exemplos de situações em que o aço se tornaria mais frágil ou mais dúctil.
( 9 pontos)3
Questão: Determine o momento de inércia de massa do cone, com a base no plano xy centrada na origem. A densidade do cone é
(constante) o raio é
e o comprimento
. (Dica: o momento de inércia do cilindro é
)
Uma barra de aço dúctil laminado a quente possui uma resistência ao escoamento mínima sob tração e com- pressão igual a 350 MPa . Utilizando as teorias da energia de distorção e tensão de cisalhamento máxima, determine os fatores de segurança para os seguintes estados de tensão plana:
(A) .
(B) .
© .
(D) .
(E) .
(A)
(B)
©
(D)
(E)