(7 pontos) Questão: Determine o produto de inércia de triângulo retângulo no plano de altura . Um dos catetos está ao longo do eixo e possui comprimento o segundo cateto está ao longo da reta e possui comprimento .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para a gente encontrar o produto de inércia de um triângulo retângulo no plano . O triângulo tem uma altura , um cateto de comprimento ao longo do eixo e o outro cateto de comprimento ao longo da reta . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é produto de inércia e como calcular integrais duplas sobre áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto de inércia . Ele é uma medida que relaciona a distribuição da área em relação aos eixos e . A fórmula para calcular é:
Isso significa que precisamos integrar o produto das coordenadas e sobre toda a área do triângulo.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites da nossa integral dupla. Como um dos catetos está ao longo do eixo de a e o outro cateto está ao longo de de a , podemos descrever a área do triângulo com variando de a e, para cada , varia de a uma função linear que representa a hipotenusa.

Passo 4

Encontrar a equação da hipotenusa. Como a hipotenusa liga os pontos e , sua equação é:
Assim, para cada valor de , vai de até .

Passo 5

Agora, vamos montar a integral dupla para :
Primeiro, integramos em relação a , mantendo constante.

Passo 6

Calculando a integral interna:

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a :
A integral de de a é .

Passo 8

Substituindo na expressão:

Resposta

O produto de inércia do triângulo retângulo é:

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(A) .
(B) .
© .
(D) .
(E) .