Uma barra de aço dúctil laminado a quente possui uma resistência ao escoamento mínima sob tração e com- pressão igual a 350 MPa . Utilizando as teorias da energia de distorção e tensão de cisalhamento máxima, determine os fatores de segurança para os seguintes estados de tensão plana:
(A) ox=100 MPa, sigmay=100 MPa.
(B) sigmax=100 MPa, taux y=50 MPa.
© sigmax=100 MPa, sigmay=-75 MPa.
(D) sigmax=-50 MPa, sigmay=-75 MPa, taux y=-50 MPa.
(E) sigmax=100 M P a, sigmay=20 M P a, taux y=-20 M P a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma barra de aço que resiste a certas tensões antes de começar a deformar permanentemente. Nosso objetivo aqui é calcular os fatores de segurança para diferentes situações de tensão usando duas teorias: a energia de distorção (von Mises) e a tensão de cisalhamento máxima (Tresca). Para isso, vamos precisar das fórmulas dessas teorias e entender como aplicar as tensões dadas em cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas teorias que vamos usar:
  1. Teoria da Energia de Distorção (von Mises): Essa teoria nos ajuda a determinar se um material vai começar a deformar de maneira plástica (permanente) sob um estado complexo de tensões. A tensão equivalente de von Mises é calculada usando uma fórmula que combina todas as componentes de tensão.
    A fórmula é:
    sigmavm = raizsigmax^2 - sigmaxsigmay + sigmay^2 + 3tauxy^2
  2. Teoria da Tensão de Cisalhamento Máxima (Tresca): Essa teoria considera a tensão máxima de cisalhamento que ocorre entre duas tensões principais. É calculado pela diferença entre as maiores e menores tens��es principais dividida por 2.
    A fórmula é:
    taumax = |sigma1 - sigma2|2
O fator de segurança é basicamente quanto “de reserva” temos antes que o material comece a falhar. É calculado dividindo a resistência ao escoamento pela tensão equivalente ou tensão de cisalhamento máxima.
Fator de Segurança (von Mises) = sigmayieldsigmavm ç
Fator de Segurança (Tresca) = sigmayieldtaumax ç
Agora, vamos aplicar isso em cada caso.

Passo 3

Caso A: sigmavm = raiz100^2 - 100 times 100 + 100^2 + 3 times 0^2 = raiz10000 - 10000 + 10000 = raiz10000 = 100 MPa , Fator de Segurança = 350100 = 3,5
Como não há componente de cisalhamento ( taumax = |100 - 100|2 = 0 MPa ) nesse caso, podemos simplificar os cálculos.
  1. von Mises:
    350100 = 3,5
    ç
  2. Tresca:
    As tensões principais são e .
    Neste caso, como não há cisalhamento, o fator de segurança para Tresca também é:

Passo 4

Caso B: sigmavm = raiz100^2 - 100 times 0 + 0^2 + 3 times 50^2 = raiz10000 + 0 + 7500 = raiz17500 approx 132,29 MPa , Fator de Segurança = 350132,29 approx 2,65
Aqui, não temos sigma1 = 100 MPa, sigma2 = 0 MPa , então assumimos que taumax = |100 - 0|2 = 50 MPa (não há tensão no eixo y).
  1. von Mises:
    Fator de Segurança = 35050 = 7
    ç
  2. Tresca:
    As tensões principais podem ser encontradas, mas como , temos:
    ç

Passo 5

Caso C: sigmavm = raiz100^2 - (100)(-75) + (-75)^2 + 3 times 0^2 = raiz10000 + 7500 + 5625 = raiz23125 approx 152,07 MPa , Fator de Segurança = 350152,07 approx 2,30
Aqui, temos uma tensão compressiva no eixo y.
  1. von Mises:
    taumax = |100 - (-75)|2 = 1752 = 87,5 MPa
    Fator de Segurança = 35087,5 = 4 ç
  2. Tresca:
    As tensões principais são e .
    ç

Passo 6

Caso D: sigmavm = raiz(-50)^2 - (-50)(-75) + (-75)^2 + 3 times (-50)^2 = raiz2500 - 3750 + 5625 + 7500 = raiz1875 + 7500 = raiz9375 approx 96,82 MPa , Fator de Segurança = 35096,82 approx 3,61 , taumax = |-50 - (-75)|2 = 252 = 12,5 MPa
Todas as tensões são compressivas ou de cisalhamento.
  1. von Mises:
    Fator de Segurança = 35012,5 = 28
    ç
  2. Tresca:
    As tensões principais são e .
    ç

Passo 7

Caso E: sigmavm = raiz100^2 - 100 times 20 + 20^2 + 3 times (-20)^2 = raiz10000 - 2000 + 400 + 1200 = raiz9240 approx 96,06 MPa , Fator de Segurança = 35096,06 approx 3,64 , sigma1,2 = sigmax + sigmay2 pm raiz(sigmax - sigmay2)^2 + tauxy^2
  1. von Mises:
    sigma1,2 = 100 + 202 pm raiz(100 - 202)^2 + (-20)^2 = 60 pm raiz1600 + 400 = 60 pm raiz2000 approx 60 pm 44,72
    sigma1 approx 104,72 MPa, sigma2 approx 15,28 MPa ç
  2. Tresca:
    Primeiro, encontramos as tensões principais usando:
    taumax = |104,72 - 15,28|2 = 89,442 = 44,72 MPa
    Fator de Segurança = 35044,72 approx 7,82
    ç

Resposta

Os fatores de segurança para cada caso são:
  • Caso A:
    • von Mises: 3,5
    • Tresca: 3,5
  • Caso B:
    • von Mises: 2,65
    • Tresca: 7
  • Caso C:
    • von Mises: 2,30
    • Tresca: 4
  • Caso D:
    • von Mises: 3,61
    • Tresca: 28
  • Caso E:
    • von Mises: 3,64
    • Tresca: 7,82

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