Uma barra de aço dúctil laminado a quente possui uma resistência ao escoamento mínima sob tração e com- pressão igual a 350 MPa . Utilizando as teorias da energia de distorção e tensão de cisalhamento máxima, determine os fatores de segurança para os seguintes estados de tensão plana:
(A) .
(B) .
© .
(D) .
(E) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma barra de aço que resiste a certas tensões antes de começar a deformar permanentemente. Nosso objetivo aqui é calcular os fatores de segurança para diferentes situações de tensão usando duas teorias: a energia de distorção (von Mises) e a tensão de cisalhamento máxima (Tresca). Para isso, vamos precisar das fórmulas dessas teorias e entender como aplicar as tensões dadas em cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas teorias que vamos usar:
  1. Teoria da Energia de Distorção (von Mises): Essa teoria nos ajuda a determinar se um material vai começar a deformar de maneira plástica (permanente) sob um estado complexo de tensões. A tensão equivalente de von Mises é calculada usando uma fórmula que combina todas as componentes de tensão.
    A fórmula é:
  2. Teoria da Tensão de Cisalhamento Máxima (Tresca): Essa teoria considera a tensão máxima de cisalhamento que ocorre entre duas tensões principais. É calculado pela diferença entre as maiores e menores tens��es principais dividida por 2.
    A fórmula é:
O fator de segurança é basicamente quanto “de reserva” temos antes que o material comece a falhar. É calculado dividindo a resistência ao escoamento pela tensão equivalente ou tensão de cisalhamento máxima.
ç
ç
Agora, vamos aplicar isso em cada caso.

Passo 3

Caso A: ,
Como não há componente de cisalhamento ( ) nesse caso, podemos simplificar os cálculos.
  1. von Mises:
    ç
  2. Tresca:
    As tensões principais são e .
    Neste caso, como não há cisalhamento, o fator de segurança para Tresca também é:

Passo 4

Caso B: ,
Aqui, não temos , então assumimos que (não há tensão no eixo y).
  1. von Mises:
    ç
  2. Tresca:
    As tensões principais podem ser encontradas, mas como , temos:
    ç

Passo 5

Caso C: ,
Aqui, temos uma tensão compressiva no eixo y.
  1. von Mises:
    ç
  2. Tresca:
    As tensões principais são e .
    ç

Passo 6

Caso D: , ,
Todas as tensões são compressivas ou de cisalhamento.
  1. von Mises:
    ç
  2. Tresca:
    As tensões principais são e .
    ç

Passo 7

Caso E: , ,
  1. von Mises:
    ç
  2. Tresca:
    Primeiro, encontramos as tensões principais usando:
    ç

Resposta

Os fatores de segurança para cada caso são:
  • Caso A:
    • von Mises: 3,5
    • Tresca: 3,5
  • Caso B:
    • von Mises: 2,65
    • Tresca: 7
  • Caso C:
    • von Mises: 2,30
    • Tresca: 4
  • Caso D:
    • von Mises: 3,61
    • Tresca: 28
  • Caso E:
    • von Mises: 3,64
    • Tresca: 7,82

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