Uma barra de aço dúctil laminado a quente possui uma resistência ao escoamento mínima sob tração e com- pressão igual a 350 MPa . Utilizando as teorias da energia de distorção e tensão de cisalhamento máxima, determine os fatores de segurança para os seguintes estados de tensão plana:
(A)
.
(B)
.
©
.
(D)
.
(E)
.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma barra de aço que resiste a certas tensões antes de começar a deformar permanentemente. Nosso objetivo aqui é calcular os fatores de segurança para diferentes situações de tensão usando duas teorias: a energia de distorção (von Mises) e a tensão de cisalhamento máxima (Tresca). Para isso, vamos precisar das fórmulas dessas teorias e entender como aplicar as tensões dadas em cada caso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas teorias que vamos usar:
-
Teoria da Energia de Distorção (von Mises): Essa teoria nos ajuda a determinar se um material vai começar a deformar de maneira plástica (permanente) sob um estado complexo de tensões. A tensão equivalente de von Mises é calculada usando uma fórmula que combina todas as componentes de tensão.A fórmula é:
-
Teoria da Tensão de Cisalhamento Máxima (Tresca): Essa teoria considera a tensão máxima de cisalhamento que ocorre entre duas tensões principais. É calculado pela diferença entre as maiores e menores tens��es principais dividida por 2.A fórmula é:
O fator de segurança é basicamente quanto “de reserva” temos antes que o material comece a falhar. É calculado dividindo a resistência ao escoamento pela tensão equivalente ou tensão de cisalhamento máxima.
Agora, vamos aplicar isso em cada caso.
Passo 3
Caso A:
,
Como não há componente de cisalhamento (
) nesse caso, podemos simplificar os cálculos.
-
von Mises:
-
Tresca:
As tensões principais sãoe . Neste caso, como não há cisalhamento, o fator de segurança para Tresca também é:
Passo 4
Caso B:
,
Aqui, não temos
, então assumimos que
(não há tensão no eixo y).
-
von Mises:
-
Tresca:
As tensões principais podem ser encontradas, mas como, temos:
Passo 5
Caso C:
,
Aqui, temos uma tensão compressiva no eixo y.
-
von Mises:
-
Tresca:
As tensões principais sãoe .
Passo 6
Caso D:
,
,
Todas as tensões são compressivas ou de cisalhamento.
-
von Mises:
-
Tresca:
As tensões principais sãoe .
Passo 7
Caso E:
,
,
-
von Mises:
-
Tresca:
Primeiro, encontramos as tensões principais usando:
Resposta
Os fatores de segurança para cada caso são:
-
Caso A:
- von Mises: 3,5
- Tresca: 3,5
-
Caso B:
- von Mises: 2,65
- Tresca: 7
-
Caso C:
- von Mises: 2,30
- Tresca: 4
-
Caso D:
- von Mises: 3,61
- Tresca: 28
-
Caso E:
- von Mises: 3,64
- Tresca: 7,82
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( 9 pontos)3
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)
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.
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e
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e
, onde o custo
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