(2,5 pontos) Uma escada com 5 m de comprimento está apoiada numa parede. Se o pé da escada for empurrado horizontalmente em direção à parede a
, com que velocidade o topo da escada será deslocado para cima quando o pé da escada estiver a 3 m da parede?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma escada de 5 metros de comprimento apoiada em uma parede. O pé da escada está sendo empurrado em direção à parede a uma velocidade de
. Queremos descobrir com que velocidade o topo da escada está subindo quando o pé da escada está a 3 metros da parede. Para resolver isso, vamos usar o conceito de razões relacionadas da matemática, que nos ajuda a relacionar as taxas de variação de diferentes quantidades que estão conectadas por uma equação.
Passo 2
Vamos representar a situação com um triângulo retângulo, onde:
- x é a distância horizontal do pé da escada à parede.
- y é a altura do topo da escada em relação ao chão.
- L é o comprimento da escada, que é constante e igual a 5 metros.
Como a escada forma um triângulo retângulo com a parede e o chão, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras, que diz:
Substituindo o valor do comprimento da escada:
Passo 3
Agora, vamos diferenciar essa equação em relação ao tempo t para encontrar uma relação entre as taxas de variaç��o de x e y. Usando a regra da diferenciação:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 2:
Passo 4
Queremos encontrar
, que é a velocidade com que o topo da escada está subindo. Vamos isolar
na equação:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação. Sabemos que:
- Quando x = 3 metros,
- O comprimento da escada é 5 metros, então podemos encontrar y usando o Teorema de Pitágoras:
Também sabemos que
(a velocidade com que o pé da escada está sendo empurrado).
Passo 6
Substituindo os valores na expressão para
:
O sinal negativo indica que y está aumentando, ou seja, o topo da escada está subindo.
Resposta
O topo da escada está se movendo para cima a uma velocidade de
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de
indicadas.
(2,5 pontos) Determine
para que
seja tangente ao gráfico de
a) Para todo
b) para algum
c) Para todo par,
é par
d) Para todo ímpar,
é ímpar
b)
c) Para todo
d) Para todo