(2,5 pontos) Uma escada com 5 m de comprimento está apoiada numa parede. Se o pé da escada for empurrado horizontalmente em direção à parede a , com que velocidade o topo da escada será deslocado para cima quando o pé da escada estiver a 3 m da parede?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma escada de 5 metros de comprimento apoiada em uma parede. O pé da escada está sendo empurrado em direção à parede a uma velocidade de . Queremos descobrir com que velocidade o topo da escada está subindo quando o pé da escada está a 3 metros da parede. Para resolver isso, vamos usar o conceito de razões relacionadas da matemática, que nos ajuda a relacionar as taxas de variação de diferentes quantidades que estão conectadas por uma equação.

Passo 2

Vamos representar a situação com um triângulo retângulo, onde:
  • x é a distância horizontal do pé da escada à parede.
  • y é a altura do topo da escada em relação ao chão.
  • L é o comprimento da escada, que é constante e igual a 5 metros.
Como a escada forma um triângulo retângulo com a parede e o chão, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras, que diz:
Substituindo o valor do comprimento da escada:

Passo 3

Agora, vamos diferenciar essa equação em relação ao tempo t para encontrar uma relação entre as taxas de variaç��o de x e y. Usando a regra da diferenciação:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 2:

Passo 4

Queremos encontrar , que é a velocidade com que o topo da escada está subindo. Vamos isolar na equação:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação. Sabemos que:
  • Quando x = 3 metros,
  • O comprimento da escada é 5 metros, então podemos encontrar y usando o Teorema de Pitágoras:
Também sabemos que (a velocidade com que o pé da escada está sendo empurrado).

Passo 6

Substituindo os valores na expressão para :
O sinal negativo indica que y está aumentando, ou seja, o topo da escada está subindo.

Resposta

O topo da escada está se movendo para cima a uma velocidade de .

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Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de indicadas.
(2,5 pontos) Determine para que seja tangente ao gráfico de
a) Para todo
b) para algum
c) Para todo par, é par
d) Para todo ímpar, é ímpar
pontos) Seja derivável e seja . Supondo , calcule