(0,5 pontos) O telhado de uma casa é constituída de laje de concreto ( k=1,8 W / m K ) de 15 cm de espessura, 15 m de largura e 20 m de comprimento. O coeficiente de calor por convecção na superfície interna do telhado é 6 W / m^2.K. Em uma noite clara de inverno, o ar ambiente está a 10^circ C, enquanto a temperatura do céu noturno é 100 K . A casa e as superfícies internas são mantidas a uma temperatura constante de 20^circ C. A emissividade de ambas as superfícies do telhado de concreto é 0,9 . Considerando tanto a transferência de calor por radiação quanto por conveç̧ão, determine a taxa de transferência de calor através do telhado com o vento soprando a 65 km / h na direção do comprimento. Se a casa for aquecida por um forno de gás natural com eficiência de 85 % e o preço do gás natural for U$$ 1,3/ therm (1 therm = 105500 kJ de energia), determine o dinheiro perdido devido ao telhado naquela noite durante o período de 14 horas. Use as propriedades do ar na termperatura da corrente livre.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício trata de transferência de calor através do telhado de concreto de uma casa. A gente vai precisar entender como calcular o calor que passa por condução, convecção e radiação. Além disso, vamos relacionar isso com o custo do gás perdido quando o forno está funcionando. Vamos usar fórmulas de transferência de calor e propriedades do ar para resolver tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a transferência de calor por condução através da laje de concreto. A fórmula para condução de calor é:
Qcond = k cdot A cdot De
Onde:
  • Qcond = 1,8 times 300 times 100,15 = 54000,15 = 36000 W é a condutividade térmica (1,8 W/m·K)
  • é a área (largura × comprimento = 15 m × 20 m = 300 m²)
  • é a diferença de temperatura entre dentro e fora (20°C - 10°C = 10 K)
  • é a espessura da laje (0,15 m)
Vamos substituir os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular a transferência de calor por convecção na superfície interna do telhado. A fórmula é:
Qconv = h cdot A cdot De
Onde:
  • Qconv = 6 times 300 times 10 = 18000 W é o coeficiente de convecção (6 W/m²·K)
  • é a área (300 m²)
  • é a diferença de temperatura (20°C - 10°C = 10 K)
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos considerar também a transferência de calor por radiação. A fórmula para radiação entre duas superfícies é:
Qrad = varepsilon cdot sigma cdot A cdot (Tsuperfície^4 - Tcéu^4) íé
Onde:
  • Qrad = 0,9 times 5,67 times 10^-8 times 300 times (293^4 - 100^4) é a emissividade (0,9)
  • Qrad = 0,9 times 5,67 times 10^-8 times 300 times (7,311 times 10^9 - 1 times 10^8) é a constante de Stefan-Boltzmann (5,67 × 10⁻⁸ W/m²·K⁴)
  • Qrad = 0,9 times 5,67 times 10^-8 times 300 times 7,211 times 10^9 é a área (300 m²)
  • Qrad approx 0,9 times 5,67 times 300 times 7,211 times 10^1 precisa estar em Kelvin. A temperatura da superfície interna é 20°C = 293 K e a do céu é 100 K.
Substituindo os valores:
Qrad approx 0,9 times 5,67 times 300 times 72,11
Calculando Qrad approx 0,9 times 5,67 times 21633 K⁴ e Qrad approx 0,9 times 122585 K⁴:
Qrad approx 110,327 W
Arredondando para 110 W.

Passo 5

Agora, somamos todas as taxas de transferência de calor para obter a taxa total de perda de calor através do telhado:
Qtotal = Qcond + Qconv + Qrad = 36000 + 18000 + 110 = 54110 W

Passo 6

Vamos converter a taxa de perda de calor para energia total durante as 14 horas da noite. Primeiro, convertemos 14 horas para segundos:
14 h = 14 times 3600 = 50400 s
A energia perdida é:
E = Qtotal times t = 54110 times 50400 = 2,730864 times 10^9 J
Convertendo para kJ:
E = 2,730864 times 10^6 kJ

Passo 7

Agora, vamos calcular o dinheiro perdido. Primeiro, consideramos a eficiência do forno de 85%, então a energia útil fornecida pelo gás é 85% da energia total gerada:
Egás = E0,85 = 2,730864 times 10^60,85 approx 3,211022 times 10^6 kJ á
Sabendo que 1 therm = 105500 kJ, a quantidade de therms consumidos é:
therms = 3,211022 times 10^6105500 approx 30,47 therms
Com o preço de U$ 1,3 por therm, o dinheiro perdido é:
Dinheiro perdido = 30,47 times 1,3 approx 39,61 dólares ó

Resposta

A taxa de transferência de calor através do telhado é de aproximadamente 54.110 W, e o dinheiro perdido devido ao telhado durante a noite de 14 horas é de cerca de U$ 39,61.

Exercícios relacionados