Uma população bacteriana cresce em uma porcentagem fixa em intervalos regulares, o padrão pode ser descrito por esta função: y(x) = a(1+r)^x, onde a = valor inicial da população antes do do crescimento, r = taxa de crescimento. Isso é representado como um decimal. x = intervalo de tempo. Este é o tempo que passou. Se a população de bactérias dobra a cada minuto, e se no tempo x = 10 a população é de 102400 indivíduos, encontre a população no tempo x = 0. Faça um eboço do gráfico de y(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma população de bactérias que cresce seguindo uma porcentagem fixa em intervalos de tempo regulares. A função que descreve esse crescimento é , onde:
  • é a população inicial antes do crescimento,
  • é a taxa de crescimento (em decimal),
  • é o tempo que passou.
O exercício nos diz que a população dobra a cada minuto e que, no tempo , a população é de 102400 bactérias. Queremos descobrir qual era a população originalmente, ou seja, no tempo , e também fazer um esboço do gráfico dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a população dobra a cada minuto. Se a população dobra, significa que, a cada intervalo de tempo, ela multiplica por 2. Então, na nossa fórmula , o termo representa o fator de crescimento.
Como a população dobra, temos:
Para encontrar , basta resolver essa equação:
Ou seja, a taxa de crescimento é 1 (ou 100%).

Passo 3

Agora que sabemos que , nossa função fica:
Sabemos também que no tempo , a população . Vamos usar essas informações para encontrar o valor de .
Substituindo na função:

Passo 4

Sabemos que . Então podemos simplificar:
Agora, para encontrar , basta dividir ambos os lados por 1024:

Passo 5

Pronto! Agora que encontramos , podemos dizer que a população no tempo era de 100 bactérias.

Passo 6

Sobre o esboço do gráfico da função , é uma curva exponencial que começa em 100 no eixo y quando e cresce rapidamente à medida que aumenta. A cada incremento de 1 no tempo, a população dobra.

Resposta

A população no tempo era de 100 bactérias.

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