Uma população bacteriana cresce em uma porcentagem fixa em intervalos regulares, o padrão pode ser descrito por esta função:
, onde
valor inicial da população antes do do crescimento,
taxa de crescimento. Isso é representado como um decimal.
intervalo de tempo. Este é o tempo que passou. Se a população de bactérias dobra a cada minuto, e se no tempo
a população é de 102400 indivíduos, encontre a população no tempo
. Faça um eboço do gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma população de bactérias que cresce seguindo uma porcentagem fixa em intervalos de tempo regulares. A função que descreve esse crescimento é
, onde:
-
é a população inicial antes do crescimento, -
é a taxa de crescimento (em decimal), -
é o tempo que passou.
O exercício nos diz que a população dobra a cada minuto e que, no tempo
, a população é de 102400 bactérias. Queremos descobrir qual era a população originalmente, ou seja, no tempo
, e também fazer um esboço do gráfico dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a população dobra a cada minuto. Se a população dobra, significa que, a cada intervalo de tempo, ela multiplica por 2. Então, na nossa fórmula
, o termo
representa o fator de crescimento.
Como a população dobra, temos:
Para encontrar
, basta resolver essa equação:
Ou seja, a taxa de crescimento
é 1 (ou 100%).
Passo 3
Agora que sabemos que
, nossa função fica:
Sabemos também que no tempo
, a população
. Vamos usar essas informações para encontrar o valor de
.
Substituindo na função:
Passo 4
Sabemos que
. Então podemos simplificar:
Agora, para encontrar
, basta dividir ambos os lados por 1024:
Passo 5
Pronto! Agora que encontramos
, podemos dizer que a população no tempo
era de 100 bactérias.
Passo 6
Sobre o esboço do gráfico da função
, é uma curva exponencial que começa em 100 no eixo y quando
e cresce rapidamente à medida que
aumenta. A cada incremento de 1 no tempo, a população dobra.
Resposta
A população no tempo
era de 100 bactérias.
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. Se a meia vida do lixo é de
anos, então determine a taxa de decaimento
.
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