Resolva as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver essa integral: . Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente à técnica de substituição. Vamos usar uma substituição simples para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples. Observa que dentro da exponencial temos e, derivando isso, temos
, que já está na integral. Então, vamos fazer a substituição:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Perceba que
está presente na nossa integral original.
Passo 4
Vamos reescrever a integral original usando a substituição:
Agora, a integral está mais simples e podemos integrá-la facilmente.
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, vamos voltar à variável original substituindo
por :
Resposta
A integral vale .
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Uma população bacteriana cresce em uma porcentagem fixa em intervalos regulares, o padrão pode ser descrito por esta função:
, onde
valor inicial da população antes do do crescimento,
taxa de crescimento. Isso é representado como um decimal.
intervalo de tempo. Este é o tempo que passou. Se a população de bactérias dobra a cada minuto, e se no tempo
a população é de 102400 indivíduos, encontre a população no tempo
. Faça um eboço do gráfico de
.