Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias após t horas é dado pela função n(t) = 100 ∙ 2 t/3. Nessas condições, pode-se afirmar que a população será de 51.200 bactérias depois de:
a) 1 dia e 3h
c) 1 dia e 14h
b) 1 dia e 9h
d) 1 dia e 19h

Passo 1

Vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o crescimento de uma população de bactérias que começa com 100 e dobra a cada três horas. A função que descreve isso é $ n(t) = 100 \cdot 2^{\frac{t}{3}} $, onde $ n(t) $ é o número de bactérias após $ t $ horas. Precisamos descobrir em qual das opções o número de bactérias será de 51.200.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função $ n(t) = 100 \cdot 2^{\frac{t}{3}} $. Ela nos diz que a cada 3 horas, a população de bactérias dobra. Ou seja, se começamos com 100 bactérias, após 3 horas teremos 200, após mais 3 horas (total de 6 horas) teremos 400, e assim por diante.

Passo 3

Queremos encontrar o tempo $ t $ em que a população será de 51.200 bactérias. Vamos substituir $ n(t) $ por 51.200 na função:
t

Passo 4

Primeiro, vamos isolar o termo exponencial. Dividindo ambos os lados por 100:
51.200100 = 2^t3
512 = 2^t3

Passo 5

Para resolver essa equação, vamos usar logaritmos. Aplicando o logaritmo de base 2 em ambos os lados:
log2512 = t3
Sabemos que $ 2^9 = 512 $, então $ \log_2{512} = 9 $. Portanto:
2^9 = 512

Passo 6

Agora, resolvemos para $ t $:
t
t = 9 cdot 3

Passo 7

Vamos verificar qual das opções corresponde a 27 horas. Considerando que 1 dia tem 24 horas:
27 horas = 1 dia + 3 horas

Resposta

A população de 51.200 bactérias será atingida depois de 1 dia e 3 horas.

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