A população de uma colônia de bactérias é dada por
milhōes de bactérias thoras após a introdução de uma toxina.
Em que instante a população começa a diminuir? - pentue de im|lexác
Em que instante a população começa a diminuir? - pentue de im|lexác
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que representa a população de uma colônia de bactérias em milhões, após a introdução de uma toxina, onde
é o tempo em horas. O objetivo é descobrir em que momento a população começa a diminuir. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a derivada da função para analisar quando ela começa a diminuir.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da população em relação ao tempo. Se a derivada for positiva, a população está aumentando; se for negativa, está diminuindo. Para derivar
, vamos usar a regra do quociente, que é aplicada quando temos uma função dividida por outra.
A regra do quociente diz que se
, então:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:
Passo 6
Para encontrar quando a população começa a diminuir, precisamos saber quando
. Ou seja, quando o numerador é negativo:
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 (lembrando de inverter a desigualdade):
Passo 7
Vamos resolver a inequação quadrática
. Primeiro, encontramos as raízes da equação
usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Então:
Passo 8
As ra��zes são
e
. Como o tempo não pode ser negativo, descartamos
. Agora, analisamos o sinal da inequação
nos intervalos definidos pelas raízes:
- Para
: negativo - Para
: positivo
Portanto, a inequação é verdadeira para
.
Resposta
A população de bactérias começa a diminuir após
horas.
Exercícios relacionados
(a)
; (b)
Determinar algebricamente os valores de
, tais que
, sendo
e
Encontre a integral indefinida geral.
Verifique, por derivação, que a fórmula está correta.