A população de uma colônia de bactérias é dada por
milhōes de bactérias thoras após a introdução de uma toxina.
Em que instante a população começa a diminuir? - pentue de im|lexác

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a população de uma colônia de bactérias em milhões, após a introdução de uma toxina, onde é o tempo em horas. O objetivo é descobrir em que momento a população começa a diminuir. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a derivada da função para analisar quando ela começa a diminuir.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da população em relação ao tempo. Se a derivada for positiva, a população está aumentando; se for negativa, está diminuindo. Para derivar , vamos usar a regra do quociente, que é aplicada quando temos uma função dividida por outra.
A regra do quociente diz que se , então:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 4

Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:

Passo 6

Para encontrar quando a população começa a diminuir, precisamos saber quando . Ou seja, quando o numerador é negativo:
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 (lembrando de inverter a desigualdade):

Passo 7

Vamos resolver a inequação quadrática . Primeiro, encontramos as raízes da equação usando a fórmula de Bhaskara:
onde , , e .
Calculando o discriminante:
Então:

Passo 8

As ra��zes são e . Como o tempo não pode ser negativo, descartamos . Agora, analisamos o sinal da inequação nos intervalos definidos pelas raízes:
  • Para : negativo
  • Para : positivo
Portanto, a inequação é verdadeira para .

Resposta

A população de bactérias começa a diminuir após horas.

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(a) ; (b)
Determinar algebricamente os valores de , tais que , sendo e
Encontre a integral indefinida geral.
Verifique, por derivação, que a fórmula está correta.