Um sinal modulante tem a seguinte função de autocorrelação:
Este sinal modula uma portadora em amplitude. Determine a potência do sinal modulado. Calcule a densidade espectral de potência da portadora modulada. Faça os gráficos da autocorrelação e da densidade espectral de potência da portadora modulada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sinal que está modulando a amplitude de uma portadora. A função de autocorrelação do sinal modulante é dada por:
Vamos precisar entender conceitos de modulação em amplitude, potência de sinais e densidade espectral de potência. Também vamos usar um pouco de matemática com funções trigonométricas e transformadas de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a potência do sinal modulado. A potência de um sinal em modulação de amplitude pode ser encontrada somando a potência da portadora e a potência das componentes de sinal.
Na modulação em amplitude, o sinal modulado $ s(t) $ é dado por:
Onde:
- $ A_c $ é a amplitude da portadora,
- $ k_a $ é o fator de modulação,
- $ m(t) $ é o sinal modulante,
- $ w_c $ é a frequência da portadora.
A potência média do sinal modulado $ P_s $ é:
Assumindo que o sinal está normalizado, podemos simplificar os cálculos.
Passo 3
Agora, vamos calcular a densidade espectral de potência da portadora modulada. A densidade espectral de potência mostra como a potência do sinal está distribuída em diferentes frequências.
Para a modulação em amplitude, a densidade espectral de potência fica com picos na frequência da portadora e nas suas laterais, separadas pela frequência do sinal modulante $ w_M $. Então teremos:
- Um pico em $ w_c $,
- Um pico em $ w_c + w_M $,
- E outro em $ w_c - w_M $.
Isso acontece porque a modulação em amplitude cria essas novas componentes de frequência ao redor da portadora.
Passo 4
Vamos fazer os gráficos agora. Primeiro, o gráfico da autocorrelação $ R_A(\tau) $. Essa função nos mostra como o sinal se correlaciona consigo mesmo em diferentes atrasos $ \tau $.
O gráfico de $ R_A(\tau) $ vai ter uma forma de “dente de serra” devido ao termo $ \frac{\operatorname{sen}^{2}(w_M \tau)}{(w_M \tau)^2} $, que decai conforme $ \tau $ aumenta, além de uma constante $ B $.
Já o gráfico da densidade espectral de potência vai mostrar três picos como mencionei antes: a portadora e as duas laterais.
Resposta
A potência do sinal modulado é $ P_s = \frac{A_c^2}{2} \left(1 + \frac{k_a^2}{2} \right) $. A densidade espectral de potência da portadora modulada apresenta um pico na frequência da portadora $ w_c $ e dois picos laterais em $ w_c \pm w_M $. Os gráficos da autocorrelação e da densidade espectral de potência foram elaborados conforme descrito nos passos.