A posição inicial e a velocidade inicial de um veículo são conhecidas e faz-se um registro da aceleração a cada instante. Pode a posição do veículo depois de um certo tempo ser determinada a partir desses dados? Explique.

Passo 1

Então, a gente tem um veículo com posição inicial conhecida, velocidade inicial conhecida e registros de aceleração em cada instante. A pergunta é: com essas informações, dá para descobrir onde o veículo estará depois de um certo tempo? Vamos usar conceitos de cinemática, que estuda o movimento dos objetos, e vamos precisar entender um pouco sobre integração, que é uma ferramenta matemática para calcular áreas sob curvas, ou, nesse caso, para encontrar funções a partir de suas taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Se a gente tem a aceleração em cada instante, a gente pode descobrir como a velocidade muda ao longo do tempo. Matematicamente, isso é feito integrando a aceleração em relação ao tempo:
v(t) = v0 + integral0^t a(tau) , dtau
Aqui, é a velocidade no tempo , é a velocidade inicial, e é a aceleração em cada instante .

Passo 3

Agora que a gente tem a expressão para a velocidade em função do tempo, podemos descobrir a posição do veículo. A posição é a taxa de variação do deslocamento em relação ao tempo, então para encontrar a posição, a gente integra a velocidade:
x(t) = x0 + integral0^t v(tau) , dtau
Aqui, é a posição no tempo , e é a posição inicial.

Passo 4

Substituindo a expressão da velocidade que encontramos no passo anterior na equação da posição, temos:
x(t) = x0 + integral0^t ( v0 + integral0^tau a(s) , ds ) dtau
Isso mostra que, a partir da aceleração, a gente consegue encontrar a velocidade e, a partir dela, a posição.

Resposta

Sim, a posição do veículo após um certo tempo pode ser determinada a partir da posição inicial, da velocidade inicial e dos registros de aceleração em cada instante, utilizando integrações sucessivas da aceleração para obter a velocidade e, depois, a posição.

Exercícios relacionados