A posição inicial e a velocidade inicial de um veículo são conhecidas e faz-se um registro da aceleração a cada instante. Pode a posição do veículo depois de um certo tempo ser determinada a partir desses dados? Explique.
Passo 1
Então, a gente tem um veículo com posição inicial conhecida, velocidade inicial conhecida e registros de aceleração em cada instante. A pergunta é: com essas informações, dá para descobrir onde o veículo estará depois de um certo tempo? Vamos usar conceitos de cinemática, que estuda o movimento dos objetos, e vamos precisar entender um pouco sobre integração, que é uma ferramenta matemática para calcular áreas sob curvas, ou, nesse caso, para encontrar funções a partir de suas taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Se a gente tem a aceleração em cada instante, a gente pode descobrir como a velocidade muda ao longo do tempo. Matematicamente, isso é feito integrando a aceleração em relação ao tempo:
Aqui,
é a velocidade no tempo
,
é a velocidade inicial, e
é a aceleração em cada instante
.
Passo 3
Agora que a gente tem a expressão para a velocidade em função do tempo, podemos descobrir a posição do veículo. A posição é a taxa de variação do deslocamento em relação ao tempo, então para encontrar a posição, a gente integra a velocidade:
Aqui,
é a posição no tempo
, e
é a posição inicial.
Passo 4
Substituindo a expressão da velocidade que encontramos no passo anterior na equação da posição, temos:
Isso mostra que, a partir da aceleração, a gente consegue encontrar a velocidade e, a partir dela, a posição.
Resposta
Sim, a posição do veículo após um certo tempo pode ser determinada a partir da posição inicial, da velocidade inicial e dos registros de aceleração em cada instante, utilizando integrações sucessivas da aceleração para obter a velocidade e, depois, a posição.
Exercícios relacionados
Para um determinado intervalo de tempo, o deslocamento total é dado pelo produto da velocidade média pelo intervalo de tempo. Essa afirmação continua válida mesmo quando a velocidade não é constante no tempo? Explique.
Explique o funcionamento do cíclotron. [4]
Um retângulo formado por cargas
e
situadas nos vértices, nesta ordem, tem lados
e
. Ache o campo elétrico no centro do retângulo.
Um motorista viaja com uma velocidade constante de
e passa em frente a uma escola onde uma placa indica o limite de velocidade de
. Um agente de trânsito que estava parada no local da placa acelera sua moto a uma taxa constante de
e persegue o motorista. Quanto tempo transcorre desde o início da perseguição até o momento em o que o policial alcança o motorista? Qual a velocidade do policial nesse instante? Que distância cada veículo percorreu até esse momento? Construa o gráfico posição em função do tempo para o movimento do motorista e do policial.