Um motorista viaja com uma velocidade constante de 15 m / s e passa em frente a uma escola onde uma placa indica o limite de velocidade de 10 m / s. Um agente de trânsito que estava parada no local da placa acelera sua moto a uma taxa constante de 3,0 m / s^2 e persegue o motorista. Quanto tempo transcorre desde o início da perseguição até o momento em o que o policial alcança o motorista? Qual a velocidade do policial nesse instante? Que distância cada veículo percorreu até esse momento? Construa o gráfico posição em função do tempo para o movimento do motorista e do policial.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um motorista que está viajando a uma velocidade constante de e passa por uma escola onde há uma placa indicando o limite de velocidade de . Um agente de trânsito, que estava parado na placa, começa a acelerar sua moto a uma taxa constante de para perseguir o motorista. Precisamos descobrir:
  1. Quanto tempo leva para o policial alcançar o motorista.
  2. Qual é a velocidade do policial quando isso acontece.
  3. Que distância cada um percorreu até esse momento.
  4. Construir o gráfico de posição em função do tempo para ambos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações do movimento retilíneo uniforme (MRU) e do movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA).

Passo 2

Primeiro, vamos definir as equações de movimento para ambos os veículos.
  • Motorista: Está se movendo com velocidade constante ( xm(t) = vm cdot t ), então sua posição em função do tempo ( xp(t) = 12 ap t^2 ) é dada por:
  • Policial: Começa do repouso e acelera a uma taxa constante ( ), então sua posição em função do tempo é:

Passo 3

Para encontrar o tempo em que o policial alcança o motorista, igualamos as posições dos dois:
xm(t) = xp(t)
Substituindo as equações:
vm cdot t = 12 ap t^2
Vamos resolver para 15t = 12 cdot 3 cdot t^2 :
15t = 1,5 t^2
1,5 t^2 - 15t = 0
t (1,5 t - 15) = 0
1,5 t - 15 = 0 implies t = 151,5 = 10 , segundos
Desconsideramos (momento inicial):

Passo 4

Agora, vamos encontrar a velocidade do policial no momento em que ele alcança o motorista. Como o policial parte do repouso e acelera a uma taxa constante, sua velocidade em função do tempo é:
vp(t) = ap cdot t
Substituindo vp(10) = 3,0 cdot 10 = 30 , m/s :

Passo 5

Vamos calcular a distância percorrida por cada um até o momento do encontro.
  • Motorista:
    xm(10) = 15 cdot 10 = 150 , metros
  • Policial:
    xp(10) = 12 cdot 3,0 cdot (10)^2 = 12 cdot 3,0 cdot 100 = 150 , metros

Passo 6

Para construir o gráfico de posição em função do tempo:
  • Motorista: Será uma linha reta com inclinação .
  • Policial: Será uma parábola crescente devido à aceleração constante de .
Ambas as curvas se interceptarão no ponto e .

Resposta

O policial leva 10 segundos para alcançar o motorista. Nesse instante, a velocidade do policial é de 30 m/s. Ambos os veículos percorreram uma distância de 150 metros até o momento do encontro.

Exercícios relacionados