Um retângulo formado por cargas Q,-Q, 2 Q e Q situadas nos vértices, nesta ordem, tem lados a e b. Ache o campo elétrico no centro do retângulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um retângulo com quatro cargas nos vértices: Q, -Q, 2Q e Q, nessa ordem. A gente precisa encontrar o campo elétrico no centro desse retângulo. Para isso, vamos usar os conceitos de campo elétrico e a Lei de Coulomb, que nos ajuda a calcular a força que uma carga exerce sobre outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria do problema. Temos um retângulo com lados de medidas a e b. O centro do retângulo fica equidistante de todos os vértices. A distância do centro a cada vértice pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras. Então, a distância r do centro a cada carga é:
r = raiza^2 + b^22

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula do campo elétrico devido a uma carga Q:
E = k cdot Qr^2
Aqui, k é a constante eletrostática (). O campo elétrico é um vetor, o que significa que tem direção e sentido.

Passo 4

Vamos analisar cada uma das quatro cargas e o campo elétrico que cada uma gera no centro do retângulo.
  1. Carga Q no primeiro vértice:
    • Distância: r = raiza^2 + b^22
    • Direção: do centro para a carga (se Q for positiva, o campo sai da carga; se negativa, entra na carga).
  2. Carga -Q no segundo vértice:
    • Distância: r = raiza^2 + b^22
    • Direção: para o centro (já que a carga é negativa).
  3. Carga 2Q no terceiro vértice:
    • Distância: r = raiza^2 + b^22
    • Direção: do centro para a carga (se 2Q for positiva).
  4. Carga Q no quarto vértice:
    • Distância: r = raiza^2 + b^22
    • Direção: do centro para a carga.

Passo 5

Vamos calcular o campo elétrico de cada carga no centro:
E1 = k cdot Q(raiza^2 + b^22)^2 = 4kQa^2 + b^2
E2 = k cdot (-Q)(raiza^2 + b^22)^2 = -4kQa^2 + b^2
E3 = k cdot 2Q(raiza^2 + b^22)^2 = 8kQa^2 + b^2
E4 = k cdot Q(raiza^2 + b^22)^2 = 4kQa^2 + b^2

Passo 6

Agora, vamos somar os campos elétricos vetorialmente. Observando as direções:
  • E1 e E4 estão na mesma direção.
  • E2 está na direção oposta a E1 e E4.
  • E3 está na mesma direção que E1 e E4.
Somando:
Etotal = E1 + E2 + E3 + E4 = 4kQa^2 + b^2 - 4kQa^2 + b^2 + 8kQa^2 + b^2 + 4kQa^2 + b^2
Etotal = 12kQa^2 + b^2

Resposta

O campo elétrico no centro do retângulo é:
Etotal = 12kQa^2 + b^2

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