A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por
x(t)=3 t-4 t^2+t^3
onde x está em metros e t em segundos. Determine a posição, velocidade e aceleração do objeto para os seguintes valores:
a) 1 s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento ao longo de um eixo x. A gente tem a posição do objeto dada por uma função do tempo:
x(t) = 3t - 4t^2 + t^3
Aqui, x está em metros e t em segundos. Nosso objetivo é encontrar a posição, a velocidade e a aceleração do objeto quando t = 1 segundo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição do objeto no tempo t = 1 segundo. Basta substituir t por 1 na função x(t):
x(1) = 3(1) - 4(1)^2 + (1)^3 = 3 - 4 + 1 = 0 metros

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade do objeto. A velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar x(t):
v(t) = dxdt = ddt(3t - 4t^2 + t^3) = 3 - 8t + 3t^2
Então, a função da velocidade é:
v(t) = 3 - 8t + 3t^2

Passo 4

Com a função da velocidade em mãos, vamos encontrar a velocidade no instante t = 1 segundo. Substituindo t por 1:
v(1) = 3 - 8(1) + 3(1)^2 = 3 - 8 + 3 = -2 metros por segundo

Passo 5

Agora, vamos calcular a aceleração do objeto. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Vamos derivar v(t):
a(t) = dvdt = ddt(3 - 8t + 3t^2) = -8 + 6t
Então, a função da aceleração é:
a(t) = -8 + 6t

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a aceleração no instante t = 1 segundo. Substituindo t por 1:
a(1) = -8 + 6(1) = -8 + 6 = -2 metros por segundo ao quadrado

Resposta

No instante de 1 segundo:
  • Posição: 0 metros
  • Velocidade: -2 metros por segundo
  • Aceleração: -2 metros por segundo ao quadrado

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