A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo
é dada por
onde x está em metros e t em segundos. Determine a posição, velocidade e aceleração do objeto para os seguintes valores:
a) 1 s
a) 1 s
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento ao longo de um eixo
. A gente tem a posição do objeto dada por uma função do tempo:
Aqui,
está em metros e
em segundos. Nosso objetivo é encontrar a posição, a velocidade e a aceleração do objeto quando
segundo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a posição do objeto no tempo
segundo. Basta substituir
por 1 na função
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade do objeto. A velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar
:
Então, a função da velocidade é:
Passo 4
Com a função da velocidade em mãos, vamos encontrar a velocidade no instante
segundo. Substituindo
por 1:
Passo 5
Agora, vamos calcular a aceleração do objeto. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Vamos derivar
:
Então, a função da aceleração é:
Passo 6
Por fim, vamos encontrar a aceleração no instante
segundo. Substituindo
por 1:
Resposta
No instante de 1 segundo:
- Posição:
metros - Velocidade:
metros por segundo - Aceleração:
metros por segundo ao quadrado