Três vetores são dados por a=3 imath+3 gravej-2 gravek, b=-imath-4 gravej+2 gravek e c=2 imath+2 gravej+gravek. Determine:
a) a cdot(b times c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o produto escalar do vetor a com o produto vetorial dos vetores b e c, ou seja, . Aqui estamos trabalhando com álgebra vetorial, especificamente com operações de produto escalar e produto vetorial. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o produto vetorial e depois o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial b times c = imath & gravej & gravek -1 & -4 & 2 2 & 2 & 1 . O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial é usando um determinante:

Passo 3

Agora, vamos expandir esse determinante:
b times c = imath cdot -4 & 2 2 & 1 - gravej cdot -1 & 2 2 & 1 + gravek cdot -1 & -4 2 & 2
Calculando cada menor determinante:
-4 & 2 2 & 1 = (-4)(1) - (2)(2) = -4 - 4 = -8
-1 & 2 2 & 1 = (-1)(1) - (2)(2) = -1 - 4 = -5
-1 & -4 2 & 2 = (-1)(2) - (-4)(2) = -2 + 8 = 6

Passo 4

Substituindo esses valores na expressão do produto vetorial:
b times c = -8imath - (-5)gravej + 6gravek = -8imath + 5gravej + 6gravek

Passo 5

Agora que temos a cdot d = ax dx + ay dy + az dz , vamos calcular o produto escalar com o vetor .
A fórmula do produto escalar é:
onde .

Passo 6

Aplicando os valores:
a cdot (b times c) = (3)(-8) + (3)(5) + (-2)(6) = -24 + 15 - 12

Resposta

a cdot (b times c) = -21

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