A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por
x(t)=3 t-4 t^2+t^3
onde x está em metros e t em segundos. Determine a posição, velocidade e aceleração do objeto para os seguintes valores:
b) 2 s

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. A questão fala sobre o movimento de um objeto ao longo de um eixo x(t) = 3t - 4t^2 + t^3 , com a posição dada pela função:
Estamos trabalhando com conceitos de cinemática, especificamente posição, velocidade e aceleração. Precisamos determinar esses valores quando o tempo é igual a 2 segundos.

Passo 2

Vamos começar encontrando a posição do objeto em x(2) = 3(2) - 4(2)^2 + (2)^3 segundos. A posição já está definida pela função , então basta substituir por 2 na equação:

Passo 3

Calculando cada termo:
x(2) = 6 - 4(4) + 8
x(2) = 6 - 16 + 8

Passo 4

Somando os valores:
x(2) = (6 + 8) - 16 = 14 - 16 = -2 metros

Passo 5

Agora, vamos encontrar a velocidade do objeto. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos v(t) = dxdt = 3 - 8t + 3t^2 para obter :

Passo 6

Com a função da velocidade, substituímos v(2) = 3 - 8(2) + 3(2)^2 por 2 segundos:

Passo 7

Calculando cada termo:
v(2) = 3 - 16 + 12
v(2) = (3 + 12) - 16 = 15 - 16 = -1 metros por segundo

Passo 8

Finalmente, vamos determinar a aceleração do objeto. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Derivamos a(t) = dvdt = -8 + 6t :

Passo 9

Substituindo a(2) = -8 + 6(2) = -8 + 12 = 4 metros por segundo ao quadrado por 2 segundos:

Resposta

Em segundos, a posição do objeto é , a velocidade é e a aceleração é .

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