A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por
x(t)=3 t-4 t^2+t^3
onde x está em metros e t em segundos. Determine a posição, velocidade e aceleração do objeto para os seguintes valores:
c) 3 s

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem a posição de um objeto em função do tempo dada por . Nosso objetivo aqui é descobrir três coisas para quando segundos:
  1. Posição do objeto.
  2. Velocidade do objeto.
  3. Aceleração do objeto.
Para resolver isso, a gente vai precisar usar derivadas, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a descobrir como uma função está mudando em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição do objeto quando x(3) = 3(3) - 4(3)^2 + (3)^3 segundos. Basta substituir x(3) = 9 - 4(9) + 27 = 9 - 36 + 27 = 0 , metros por 3 na fórmula da posição:
Vamos calcular cada parte:
Então, a posição do objeto em 3 segundos é 0 metros.

Passo 3

Agora, vamos determinar a velocidade do objeto. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, vamos derivar v(t) = dxdt = ddt(3t - 4t^2 + t^3) = 3 - 8t + 3t^2 para achar v(3) = 3 - 8(3) + 3(3)^2 = 3 - 24 + 27 = 6 , m/s :
Agora, substituímos na expressão da velocidade:
Então, a velocidade do objeto em 3 segundos é 6 metros por segundo.

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a aceleração do objeto. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Vamos derivar a(t) = dvdt = ddt(3 - 8t + 3t^2) = -8 + 6t para achar a(3) = -8 + 6(3) = -8 + 18 = 10 , m/s^2 :
Substituindo :
Então, a aceleração do objeto em 3 segundos é 10 metros por segundo ao quadrado.

Resposta

Em segundos:
  • Posição:
  • Velocidade:
  • Aceleração:

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