A posição de uma partícula é dada pela função
onde
está em segundos. Qual é (a) a freqüência, (b) o período e © a amplitude do movimento da partícula? (d) Qual o primeiro instante, depois de
, em que a partícula atinge a sua posição de equilíbrio? Em que direção estará então em movimento a partícula?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a posição de uma partícula em função do tempo:
Aqui,
está em segundos. O conteúdo envolve movimentos harmônicos simples, então vamos precisar entender conceitos como frequência, período, amplitude e posição de equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a amplitude. A amplitude é o valor máximo que a posição
alcança. Na nossa equação, ela é o coeficiente que multiplica o cosseno:
Passo 3
Agora, vamos achar a frequência. A frequência (
) está relacionada ao termo angular (
) na função cosseno. A fórmula relacionando eles é:
No nosso caso,
. Então:
Passo 4
O próximo passo é encontrar o período (
), que é o inverso da frequência:
Passo 5
Para a parte (d), queremos saber quando a partícula atinge a posição de equilíbrio (quando
) pela primeira vez após
. A posição de equilíbrio ocorre quando o cosseno é zero:
Sabemos que
quando
, onde
é inteiro. Vamos resolver para
:
Então, o primeiro instante é
segundos.
Passo 6
Por fim, precisamos determinar a direção do movimento da partícula nesse instante. Para isso, vamos olhar a derivada da posição em relação ao tempo, que nos dá a velocidade:
No instante
:
Como a velocidade é negativa, a partícula está se movendo na direção negativa quando passa pela posição de equilíbrio.
Resposta
(a) A frequência é
.
(b) O período é
segundos.
© A amplitude do movimento é
.
(d) O primeiro instante em que a partícula atinge a posição de equilíbrio após
é
segundos, e nesse momento a partícula está se movendo na direção negativa.
Exercícios relacionados
Um corpo oscila com a amplitude de 6 cm preso a uma mola horizontal que tem a constante
. A velocidade máxima do corpo é 2,20
. Achar
a massa do corpo,
a freqüência do movimento e
período do movimento.
Um corpo de 5 kg oscila numa mola horizontal com a amplitude de 4 cm. A aceleração máxima é
. Achar (a) a constante da mola
,
a freqüência e
o período do movimento.
Achar (a) a velocidade máxima e (b) a aceleração máxima da partícula do Problema 13. © Qual o primeiro instante em que a partícula está em
e se move para a direita?
Uma criança, num balanço, oscila com o período de 3 s. A massa do balanço com a criança é 35 kg. O balanço é empurrado pelo pai da criança de modo que a amplitude da oscilação permanece constante. No fundo da oscilação, a velocidade da criança é
. (a) Qual a energia total da criança e do balanço? (b) Se
, qual a energia dissipada durante cada oscilação do balanço? © Qual a potência despendida pelo pai, que empurra o balanço? Observação: O impulsionamento de um balanço não se faz, habitualmente, segundo uma lei senoidal. No entanto, a fim de manter um balanço em oscilação de amplitude constante, a energia perdida por ciclo, em virtude do amortecimento, deve ser compensada por uma fonte de energia externa. Esta energia pode provir ou da criança, que por si mesma excita o balanço, ou de uma outra pessoa, que empurra periodicamente o balanço.