A posição de uma partícula é dada pela função
onde está em segundos. Qual é (a) a freqüência, (b) o período e © a amplitude do movimento da partícula? (d) Qual o primeiro instante, depois de , em que a partícula atinge a sua posição de equilíbrio? Em que direção estará então em movimento a partícula?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a posição de uma partícula em função do tempo:
Aqui, está em segundos. O conteúdo envolve movimentos harmônicos simples, então vamos precisar entender conceitos como frequência, período, amplitude e posição de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a amplitude. A amplitude é o valor máximo que a posição alcança. Na nossa equação, ela é o coeficiente que multiplica o cosseno:

Passo 3

Agora, vamos achar a frequência. A frequência ( ) está relacionada ao termo angular ( ) na função cosseno. A fórmula relacionando eles é:
No nosso caso, . Então:

Passo 4

O próximo passo é encontrar o período ( ), que é o inverso da frequência:

Passo 5

Para a parte (d), queremos saber quando a partícula atinge a posição de equilíbrio (quando ) pela primeira vez após . A posição de equilíbrio ocorre quando o cosseno é zero:
Sabemos que quando , onde é inteiro. Vamos resolver para :
Então, o primeiro instante é segundos.

Passo 6

Por fim, precisamos determinar a direção do movimento da partícula nesse instante. Para isso, vamos olhar a derivada da posição em relação ao tempo, que nos dá a velocidade:
No instante :
Como a velocidade é negativa, a partícula está se movendo na direção negativa quando passa pela posição de equilíbrio.

Resposta

(a) A frequência é .
(b) O período é segundos.
© A amplitude do movimento é .
(d) O primeiro instante em que a partícula atinge a posição de equilíbrio após é segundos, e nesse momento a partícula está se movendo na direção negativa.

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