A posição de uma partícula é dada pela função
x=(5 cm) cos 4 pi t
onde t está em segundos. Qual é (a) a freqüência, (b) o período e © a amplitude do movimento da partícula? (d) Qual o primeiro instante, depois de t=0, em que a partícula atinge a sua posição de equilíbrio? Em que direção estará então em movimento a partícula?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a posição de uma partícula em função do tempo:
x = (5 cm) cos 4pi t
Aqui, t está em segundos. O conteúdo envolve movimentos harmônicos simples, então vamos precisar entender conceitos como frequência, período, amplitude e posição de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a amplitude. A amplitude é o valor máximo que a posição x alcança. Na nossa equação, ela é o coeficiente que multiplica o cosseno:
A = 5 cm

Passo 3

Agora, vamos achar a frequência. A frequência ( f) está relacionada ao termo angular ( omega) na função cosseno. A fórmula relacionando eles é:
omega = 2pi f
No nosso caso, omega = 4pi. Então:
4pi = 2pi f f = 4pi2pi f = 2 Hz

Passo 4

O próximo passo é encontrar o período ( T), que é o inverso da frequência:
T = 1f T = 12 T = 0,5 segundos

Passo 5

Para a parte (d), queremos saber quando a partícula atinge a posição de equilíbrio (quando x = 0) pela primeira vez após t = 0. A posição de equilíbrio ocorre quando o cosseno é zero:
cos 4pi t = 0
Sabemos que cos theta = 0 quando theta = pi2 + kpi, onde k é inteiro. Vamos resolver para t:
4pi t = pi2 t = pi2 div 4pi t = 18 segundos
Então, o primeiro instante é t = 18 segundos.

Passo 6

Por fim, precisamos determinar a direção do movimento da partícula nesse instante. Para isso, vamos olhar a derivada da posição em relação ao tempo, que nos dá a velocidade:
v = dxdt = -5 cm cdot 4pi sin 4pi t = -20pi sin 4pi t
No instante t = 18:
v = -20pi sin (4pi cdot 18) = -20pi sin (pi2) v = -20pi cdot 1 = -20pi cm/s
Como a velocidade é negativa, a partícula está se movendo na direção negativa quando passa pela posição de equilíbrio.

Resposta

(a) A frequência é 2 Hz.
(b) O período é 0,5 segundos.
© A amplitude do movimento é 5 cm.
(d) O primeiro instante em que a partícula atinge a posição de equilíbrio após t = 0 é t = 18 segundos, e nesse momento a partícula está se movendo na direção negativa.

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