Um helicóptero descarrega um pacote de suprimento para as vítimas de uma inundação que estão sobre uma balsa em uma área alagada. Quando o pacote é lançado, o helicóptero está 100 m acima da balsa e voando a 25 m / s a um ângulo de 36,9^circ em relação a horizontal. (a) Durante quanto tempo o pacote permanece no ar? (b) A que distância da balsa o pacote cai? © Se o helicóptero voa com velocidade constante, onde ele estará quando o pacote atingir a água? Determine (d) o tempo t1 para os pacotes de suprimento atingirem sua maior altura h acima da água, (e) sua maior altura h e (f) o tempo t2, a partir da altura máxima, para os pacotes atingirem a água.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema de física! A gente tem um helicóptero que está a 100 metros acima de uma balsa e voando a uma velocidade de 25 m/s, fazendo um ângulo de 36,9° com a horizontal. Quando o pacote é lançado, queremos descobrir várias coisas sobre o movimento dele até cair na água. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento projetado e cinemática, que envolvem dividir o movimento em componentes horizontal e vertical, e aplicar as fórmulas de aceleração e tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial do pacote nos eixos horizontal e vertical. Isso é essencial porque, na ausência de ar, o movimento horizontal é uniforme (velocidade constante) e o movimento vertical é uniformemente acelerado pela gravidade.
A velocidade horizontal ( vx = v cdot cos(theta) ) é:
vy0 = v cdot sin(theta)
E a velocidade vertical inicial ( vx = 25 cdot cos(36,9^circ) approx 25 cdot 0,8 = 20 , m/s ) é:
vy0 = 25 cdot sin(36,9^circ) approx 25 cdot 0,6 = 15 , m/s
Onde:
Calculando:

Passo 3

Agora, para saber quanto tempo o pacote permanece no ar (parte a), precisamos analisar o movimento vertical. A equação que descreve a posição vertical em função do tempo é:
y(t) = y0 + vy0t - 12>^2
Onde:
  • 0 = 100 + 15t - 4,9t^2 é a altura no tempo a = -4,9; b = 15; c = 100
  • t = -b pm raizb^2 - 4ac2a (altura inicial)
  • De (aceleração da gravidade)
Quando o pacote atinge a água, t = -15 pm raiz2185-9,8 . Então:
t approx -15 + 46,73-9,8 approx 31,73-9,8 approx 3,24 , s
Isso é uma equação quadrática na forma , onde:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante ( ):
Agora:
A raiz positiva será:

Passo 4

Para determinar a distância horizontal onde o pacote cai (parte b), usamos a velocidade horizontal d = vx cdot t = 20 , m/s cdot 3,24 , s approx 64,8 , m e o tempo de voo :

Passo 5

Agora, se o helicóptero voa a velocidade constante de 25 m/s, queremos saber onde ele estará quando o pacote atinge a água (parte c). O helicóptero também se move horizontalmente durante o tempo dhelicóptero = v cdot t = 25 , m/s cdot 3,24 , s approx 81 , m :
ó
Então, o helicóptero estará a 81 metros na direção do voo quando o pacote cair na água.

Passo 6

Para encontrar o tempo vy = vy0 - > que o pacote leva para atingir a maior altura acima da água (parte d), lembramos que no ponto mais alto, a velocidade vertical é zero. Usamos a equação:
0 = 15 - 9,8t1 implies t1 = 159,8 approx 1,53 , s
Quando :

Passo 7

A maior altura h = y0 + vy0t1 - 12g t1^2 alcançada acima da água (parte e) é a soma da altura inicial mais a altura adicional alcançada durante o tempo h = 100 + 15 cdot 1,53 - 4,9 cdot (1,53)^2 :
h approx 100 + 22,95 - 4,9 cdot 2,34 approx 100 + 22,95 - 11,47 approx 111,48 , m
Substituindo os valores:

Passo 8

Por fim, para encontrar o tempo y = h - 12>2^2 a partir da altura máxima até o pacote atingir a água (parte f), consideramos que a partir do ponto mais alto, o pacote cai de uma altura de 111,48 m. Usamos a equação de queda livre:
0 = 111,48 - 4,9 t2^2 implies t2^2 = 111,484,9 approx 22,75 implies t2 approx 4,77 , s
Quando :

Resposta

(a) O pacote permanece no ar por aproximadamente 3,24 segundos.
(b) O pacote cai a uma distância de aproximadamente 64,8 metros da balsa.
© Quando o pacote atinge a água, o helicóptero estará a cerca de 81 metros na direção do voo.
(d) O tempo para o pacote atingir a maior altura acima da água é de aproximadamente 1,53 segundos.
(e) A maior altura alcançada pelo pacote é de aproximadamente 111,48 metros.
(f) O tempo , a partir da altura máxima, para o pacote atingir a água é de aproximadamente 4,77 segundos.

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