Três vetores são dados por A=2 i-3 j-k, B=i-j-k, C=i+j-2 k. Determine: A. (B times C), B (AxC), A (B- C), Ax(B-C). Coloque esses vetores um sistema de coordenadas retangulares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três vetores no espaço tridimensional:
  • A = 2,i - 3,j - k
  • B = i - j - k
  • C = i + j - 2,k
A gente precisa calcular algumas operações entre eles: produto vetorial (cruz), produto escalar (ponto) e as combinações dessas operações. Para resolver, vamos usar as definições de produto vetorial e escalar, além de operações básicas com vetores.

Passo 2

Vamos calcular o produto vetorial entre B e C, ou seja, B times C.
O produto vetorial entre dois vetores U = u1,i + u2,j + u3,k e V = v1,i + v2,j + v3,k é dado por:
U times V = (u2 v3 - u3 v2),i - (u1 v3 - u3 v1),j + (u1 v2 - u2 v1),k
Aplicando isso para B e C:
B = 1-1-1, C = 11-2
B times C = (-1)(-2) - (-1)(1) - (1 cdot (-2) - (-1) cdot 1) 1 cdot 1 - (-1) cdot 1 = 2 +1 -(-2 +1) 1 +1 = 312
Então, B times C = 3,i + j + 2,k.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar B cdot (A times C).
Primeiro, precisamos encontrar A times C.
Usando a mesma fórmula do produto vetorial:
A = 2-3-1, C = 11-2
A times C = (-3)(-2) - (-1)(1) - (2 cdot (-2) - (-1) cdot 1) 2 cdot 1 - (-3) cdot 1 = 6 +1 -(-4 +1) 2 +3 = 735
Então, A times C = 7,i + 3,j + 5,k.
Agora, o produto escalar B cdot (A times C):
B = 1-1-1, A times C = 735
B cdot (A times C) = 1 cdot 7 + (-1) cdot 3 + (-1) cdot 5 = 7 -3 -5 = -1
Então, B cdot (A times C) = -1.

Passo 4

Vamos calcular agora o produto escalar A cdot (B - C).
Primeiro, encontramos B - C:
B = 1-1-1, C = 11-2
B - C = 1-1-1-1-1-(-2) = 0-21
Então, B - C = 0,i - 2,j + k.
Agora, o produto escalar A cdot (B - C):
A = 2-3-1, B - C = 0-21
A cdot (B - C) = 2 cdot 0 + (-3) cdot (-2) + (-1) cdot 1 = 0 +6 -1 = 5
Então, A cdot (B - C) = 5.

Passo 5

Por fim, vamos calcular o produto vetorial A times (B - C).
Já sabemos que B - C = 0,i - 2,j + k.
Usando a fórmula do produto vetorial:
A = 2-3-1, B - C = 0-21
A times (B - C) = (-3)(1) - (-1)(-2) - (2 cdot 1 - (-1) cdot 0) 2 cdot (-2) - (-3) cdot 0 = -3 -2 - (2 -0) -4 -0 = -5-2-4
Então, A times (B - C) = -5,i - 2,j - 4,k.

Resposta

A. B times C = 3,i + j + 2,k
B. B cdot (A times C) = -1
C. A cdot (B - C) = 5
D. A times (B - C) = -5,i - 2,j - 4,k
Os vetores estão representados em um sistema de coordenadas retangulares conforme os cálculos acima.

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