A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo com a equação x=5-7 t+3 t^2, onde x esta em metros e t em segundos
a aceleração média da partícula para os intervalos de tempo de t=1 s a t=4 s e de t=5 s a t=8 s

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move ao longo do eixo com a posição dada pela equação , onde está em metros e em segundos. Precisamos calcular a aceleração média dessa partícula em dois intervalos de tempo: de s a s e de s a s. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especialmente sobre como calcular a aceleração média a partir das velocidades em diferentes instantes de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a aceleração média ( am = De) em um intervalo de tempo é dada pela variação da velocidade ( ) dividida pela variação do tempo ( ):
Isso significa que precisamos encontrar a velocidade da partícula nos tempos iniciais e finais de cada intervalo.

Passo 3

A velocidade ( x = 5 - 7t + 3t^2 ) é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar a equação da posição para encontrar a equação da velocidade.
v(t) = dxdt = -7 + 6t
Derivando em relação a :
Então, a equação da velocidade é .

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade nos dois momentos de cada intervalo.
Para o primeiro intervalo, de v(1) = -7 + 6(1) = -7 + 6 = -1 , m/s s a v(4) = -7 + 6(4) = -7 + 24 = 17 , m/s s:
  • Velocidade em s:
  • Velocidade em s:

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula da aceleração média para o primeiro intervalo:
am = v(4) - v(1)4 - 1 = 17 - (-1)3 = 183 = 6 , m/s^2

Passo 6

Vamos repetir o mesmo processo para o segundo intervalo, de v(5) = -7 + 6(5) = -7 + 30 = 23 , m/s s a v(8) = -7 + 6(8) = -7 + 48 = 41 , m/s s:
  • Velocidade em s:
  • Velocidade em s:

Passo 7

Agora, calculando a aceleração média para o segundo intervalo:
am = v(8) - v(5)8 - 5 = 41 - 233 = 183 = 6 , m/s^2

Resposta

A aceleração média da partícula é tanto para o intervalo de s a s quanto para o intervalo de s a s.

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