A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo com a equação x=5-7 t+3 t^2, onde x esta em metros e t em segundos
uma expressão para a velocidade da partícula em função do tempo e em seguida calcule a velocidade da partícula para t=1 s e para t=5 s.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A posição de uma partícula está descrita pela equação , onde é a posição em metros e é o tempo em segundos. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade dessa partícula em função do tempo e depois calcular essa velocidade especificamente para segundo e segundos.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo, especialmente sobre derivadas, que nos ajudam a encontrar taxas de variação, como a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que velocidade é basicamente a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Em termos matemáticos, isso significa que a velocidade ( ) é a derivada da posição ( ) em relação ao tempo ( ).
Então, para encontrar a expressão da velocidade, vamos derivar a função posição em relação a .

Passo 3

Vamos derivar cada termo da função v(t) = 0 - 7 + 6t = -7 + 6t separadamente:
  1. Derivada de constante: A derivada de uma constante, como 5, é 0.
  2. Derivada de : A derivada de (onde é uma constante) em relação a é apenas . Então, a derivada de é .
  3. Derivada de : Usamos a regra do expoente, que diz que a derivada de é . Aplicando isso, a derivada de é .
Agora, vamos somar todas as derivadas:

Passo 4

Pronto, agora temos a expressão para a velocidade em função do tempo:
v(t) = 6t - 7
Isso significa que para qualquer valor de , podemos calcular a velocidade da partícula substituindo na equação acima.

Passo 5

Vamos agora calcular a velocidade para v(1) = 6(1) - 7 = 6 - 7 = -1 m/s segundo:
Isso indica que, no primeiro segundo, a partícula está se movendo na direção negativa do eixo com uma velocidade de 1 metro por segundo.

Passo 6

Agora, vamos calcular a velocidade para v(5) = 6(5) - 7 = 30 - 7 = 23 m/s segundos:
Nesse caso, após 5 segundos, a partícula está se movendo na direção positiva do eixo com uma velocidade de 23 metros por segundo.

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é .
  • Para segundo, a velocidade é .
  • Para segundos, a velocidade é .

Exercícios relacionados