A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo
varia com o tempo de acordo com a equação
, onde
esta em metros e
em segundos
uma expressão para a velocidade da partícula em função do tempo e em seguida calcule a velocidade da partícula para
e para
.
uma expressão para a velocidade da partícula em função do tempo e em seguida calcule a velocidade da partícula para
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A posição de uma partícula está descrita pela equação
, onde
é a posição em metros e
é o tempo em segundos. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade dessa partícula em função do tempo e depois calcular essa velocidade especificamente para
segundo e
segundos.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo, especialmente sobre derivadas, que nos ajudam a encontrar taxas de variação, como a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que velocidade é basicamente a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Em termos matemáticos, isso significa que a velocidade (
) é a derivada da posição (
) em relação ao tempo (
).
Então, para encontrar a expressão da velocidade, vamos derivar a função posição
em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da função
separadamente:
- Derivada de constante: A derivada de uma constante, como 5, é 0.
- Derivada de
: A derivada de (onde é uma constante) em relação a é apenas . Então, a derivada de é . - Derivada de
: Usamos a regra do expoente, que diz que a derivada de é . Aplicando isso, a derivada de é .
Agora, vamos somar todas as derivadas:
Passo 4
Pronto, agora temos a expressão para a velocidade em função do tempo:
Isso significa que para qualquer valor de
, podemos calcular a velocidade da partícula substituindo
na equação acima.
Passo 5
Vamos agora calcular a velocidade para
segundo:
Isso indica que, no primeiro segundo, a partícula está se movendo na direção negativa do eixo
com uma velocidade de 1 metro por segundo.
Passo 6
Agora, vamos calcular a velocidade para
segundos:
Nesse caso, após 5 segundos, a partícula está se movendo na direção positiva do eixo
com uma velocidade de 23 metros por segundo.
Resposta
A velocidade da partícula em função do tempo é
.
- Para
segundo, a velocidade é . - Para
segundos, a velocidade é .