A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por a(t) = 2 cos(4 t) + t.
(e) Qual o sentido do movimento da partícula quando t = pi / 4 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que começa na posição 0,125 e com uma velocidade inicial de 0,5 unidades no tempo 0. O movimento dela é em uma linha só, e a aceleração dela muda com o tempo, dada por . O que a gente precisa descobrir aqui é pra qual lado a partícula está se movendo quando o tempo é . Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente como a aceleração afeta a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade da partícula em qualquer instante pode ser encontrada integrando a aceleração em relação ao tempo. A fórmula para a velocidade é:
onde é a velocidade inicial.

Passo 3

Vamos integrar a aceleração :
Integrando termo por termo:
Então, a integral completa fica:

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante de integração . Sabemos que no tempo , a velocidade . Vamos substituir:
Então, a expressão da velocidade fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade no tempo :
Simplificando:
Sabemos que , então:

Resposta

Como a velocidade em é positiva ( ), a partícula está se movendo para a direita.

Exercícios relacionados

A posição de uma partícula é dada como função do tempo por s(t) = 1 - 3t + t^2 + 3t^3 de modo unidimensional.
(i) Construa o gráfico da velocidade como função do tempo.
Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
integral0^1(a x+b) d x
Use a Regra do Ponto Médio com o valor dado para aproximar a integral. Arredonde cada resposta para quatro casas decimais.
integral1^3 12 x-7 d x, n=4
Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
integral1^3(2+3 x-x^2) d x