Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para calcular a integral definida
usando a definição da integral apresentada no Teorema 4. Basicamente, vamos trabalhar com o conceito de integrais definidas, que envolvem encontrar a área sob a curva da função
entre os limites de 0 e 1.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar que a integral definida
representa a soma das áreas de retângulos infinitamente pequenos sob a curva de
entre
e
. Para calcular isso usando a definição, dividimos o intervalo [0,1] em
partes iguais.
Passo 3
A largura de cada subintervalo é
. Os pontos de divisão serão então
,
,
, e assim por diante, até
.
Passo 4
Escolhemos um ponto em cada subintervalo para avaliar a função. Vamos usar os pontos à direita, ou seja,
para cada
de 1 até
. Isso facilita os cálculos.
Passo 5
A soma de Riemann usando os pontos à direita fica assim:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Passo 7
Sabemos que:
Passo 8
Substituindo essas somas na expressão:
Passo 9
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Resposta
A integral
é igual a
.
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