Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
integral1^3(2+3 x-x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente da definição de integral segundo o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar entender como integrar cada termo dessa função polinomial para calcular a área sob a curva entre os limites 1 e 3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integrar uma função significa encontrar sua antiderivada. A antiderivada de uma função é outra função tal que . Para polinômios, integremos termo a termo.

Passo 3

Vamos integrar cada termo da função integral 2 , dx = 2x :
  1. Integrar 2:
    integral 3x , dx = 32x^2
    Aqui, a integral de uma constante integral -x^2 , dx = -13x^3 é .
  2. Integrar :
    A regra aqui é que a integral de é .
  3. Integrar :
    Aplicando a mesma regra da potência.

Passo 4

Agora, somamos todas as antiderivadas encontradas:
F(x) = 2x + 32x^2 - 13x^3
Esta é a antiderivada da função original.

Passo 5

Para calcular a integral definida de 1 a 3, avaliamos integral1^3(2 + 3x - x^2) dx = F(3) - F(1) nos limites superiores e inferiores e subtraímos:

Passo 6

Vamos calcular F(3) = 2(3) + 32(3)^2 - 13(3)^3 = 6 + 32(9) - 13(27) = 6 + 13,5 - 9 = 10,5 :

Passo 7

Agora, calculamos F(1) = 2(1) + 32(1)^2 - 13(1)^3 = 2 + 32 - 13 = 2 + 1,5 - 0,333 approx 3,166 :

Passo 8

Subtraindo F(3) - F(1) approx 10,5 - 3,166 = 7,333 de :
Convertendo para fração, temos .

Resposta

A integral é igual a .

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A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por a(t) = 2 cos(4 t) + t.
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