Use a Regra do Ponto Médio com o valor dado para aproximar a integral. Arredonde cada resposta para quatro casas decimais.
integral1^3 12 x-7 d x, n=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando a Regra do Ponto Médio. O enunciado pede para aproximar a integral integral1^3 12x - 7 , dx com n = 4 subintervalos. Para isso, precisamos entender o que é a Regra do Ponto Médio e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a largura de cada subintervalo. A largura ( De) é dada por:
De
Onde:
  • a = 1 (limite inferior)
  • b = 3 (limite superior)
  • n = 4 (número de subintervalos)
Vamos substituir os valores:
De

Passo 3

Agora, vamos determinar os pontos médios de cada subintervalo. Os pontos médios ( xi^*) são calculados adicionando metade da largura do subintervalo ao início de cada subintervalo. Os subintervalos são:
  1. [1, 1.5]
  2. [1.5, 2]
  3. [2, 2.5]
  4. [2.5, 3]
Então, os pontos médios são:
x1^* &= 1 + 0,52 = 1,25 x2^* &= 1,5 + 0,52 = 1,75 x3^* &= 2 + 0,52 = 2,25 x4^* &= 2,5 + 0,52 = 2,75

Passo 4

Vamos agora avaliar a função no ponto médio de cada subintervalo. A função é f(x) = 12x - 7. Calculando:
f(1,25) &= 12(1,25) - 7 = 12,5 - 7 = 1-4,5 approx -0,2222 f(1,75) &= 12(1,75) - 7 = 13,5 - 7 = 1-3,5 approx -0,2857 f(2,25) &= 12(2,25) - 7 = 14,5 - 7 = 1-2,5 = -0,4 f(2,75) &= 12(2,75) - 7 = 15,5 - 7 = 1-1,5 approx -0,6667

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Ponto Médio:
Integral approx De
Substituindo os valores:
Integral &approx 0,5 cdot [-0,2222 + (-0,2857) + (-0,4) + (-0,6667)] &= 0,5 cdot [-1,5749] &= -0,78745

Resposta

A aproximação da integral usando a Regra do Ponto Médio com n = 4 é boxed-0,7875.

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Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
integral1^3(2+3 x-x^2) d x
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