Vamos entender o enunciado: temos a posição de uma partícula ao longo do eixo dada por , onde está em metros e em segundos. Queremos descobrir qual é o comprimento total da trajetória que essa partícula percorre nos primeiros 4 segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas e integrais, para encontrar a velocidade e depois a distância percorrida.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, calculamos:
Aqui, derivamos para obter e para obter .
Passo 3
Para encontrar a distância total percorrida, precisamos verificar se a partícula muda de direção nos primeiros 4 segundos. Isso acontece quando a velocidade é igual a zero. Vamos resolver :
Isso nos dá duas soluções: segundos e segundos. O tempo é o início do movimento, então precisamos considerar .
Passo 4
Agora, vamos verificar se está dentro dos 4 segundos que estamos analisando. Se , a partícula muda de direção dentro desse intervalo de tempo. Assumindo que isso seja verdade, teremos dois intervalos para calcular a distância percorrida:
De a
De a segundos
Passo 5
Vamos calcular a posição nos tempos críticos:
Para :
Para :
Passo 6
Para segundos:
Passo 7
Agora, vamos calcular a distância percorrida em cada intervalo:
De a :
De a segundos:
A distância total percorrida é a soma dessas duas partes:
â
Resposta
O comprimento total da trajetória percorrida pela partícula nos primeiros 4 segundos é: