A posição de uma partícula ao longo do cixo
depende do tempo de acordo com a equação
, onde
está em metros
segundos. © Qual o comprimento total da trajetória percorrida pela partícula nos primeiros 4 segundos?
Passo 1
Vamos entender o enunciado: temos a posição de uma partícula ao longo do eixo
dada por
, onde
está em metros e
em segundos. Queremos descobrir qual é o comprimento total da trajetória que essa partícula percorre nos primeiros 4 segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas e integrais, para encontrar a velocidade e depois a distância percorrida.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, calculamos:
Aqui, derivamos
para obter
e
para obter
.
Passo 3
Para encontrar a distância total percorrida, precisamos verificar se a partícula muda de direção nos primeiros 4 segundos. Isso acontece quando a velocidade é igual a zero. Vamos resolver
:
Isso nos dá duas soluções:
segundos e
segundos. O tempo
é o início do movimento, então precisamos considerar
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
está dentro dos 4 segundos que estamos analisando. Se
, a partícula muda de direção dentro desse intervalo de tempo. Assumindo que isso seja verdade, teremos dois intervalos para calcular a distância percorrida:
- De
a - De
a segundos
Passo 5
Vamos calcular a posição nos tempos críticos:
Para
:
Para
:
Passo 6
Para
segundos:
Passo 7
Agora, vamos calcular a distância percorrida em cada intervalo:
- De
a :
- De
a segundos:
A distância total percorrida é a soma dessas duas partes:
Resposta
O comprimento total da trajetória percorrida pela partícula nos primeiros 4 segundos é: