A posição de uma partícula ao longo do cixo x depende do tempo de acordo com a equação x=A t^2-B t^3, onde x está em metros e t em segundos. © Qual o comprimento total da trajetória percorrida pela partícula nos primeiros 4 segundos?

Passo 1

Vamos entender o enunciado: temos a posição de uma partícula ao longo do eixo dada por , onde está em metros e em segundos. Queremos descobrir qual é o comprimento total da trajetória que essa partícula percorre nos primeiros 4 segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas e integrais, para encontrar a velocidade e depois a distância percorrida.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, calculamos:
v(t) = dxdt = 2A t - 3B t^2
Aqui, derivamos para obter e para obter .

Passo 3

Para encontrar a distância total percorrida, precisamos verificar se a partícula muda de direção nos primeiros 4 segundos. Isso acontece quando a velocidade é igual a zero. Vamos resolver 2A t - 3B t^2 = 0 t (2A - 3B t) = 0 :
Isso nos dá duas soluções: segundos e segundos. O tempo é o início do movimento, então precisamos considerar .

Passo 4

Agora, vamos verificar se está dentro dos 4 segundos que estamos analisando. Se , a partícula muda de direção dentro desse intervalo de tempo. Assumindo que isso seja verdade, teremos dois intervalos para calcular a distância percorrida:
  1. De a
  2. De a segundos

Passo 5

Vamos calcular a posição nos tempos críticos:
Para x(0) = A (0)^2 - B (0)^3 = 0 :
x( 2A3B ) = A ( 2A3B )^2 - B ( 2A3B )^3 = 4A^39B^2 - 8A^327B^3 = 4A^327B^2
Para :

Passo 6

Para x(4) = A (4)^2 - B (4)^3 = 16A - 64B segundos:

Passo 7

Agora, vamos calcular a distância percorrida em cada intervalo:
  1. De De a De:
Distância Total = De
  1. De a segundos:
A distância total percorrida é a soma dessas duas partes:
â

Resposta

O comprimento total da trajetória percorrida pela partícula nos primeiros 4 segundos é:
4A^327B^2 + | 16A - 64B - 4A^327B^2 | metros

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