A posição de uma partícula ao longo do cixo depende do tempo de acordo com a equação , onde está em metros segundos. © Qual o comprimento total da trajetória percorrida pela partícula nos primeiros 4 segundos?

Passo 1

Vamos entender o enunciado: temos a posição de uma partícula ao longo do eixo dada por , onde está em metros e em segundos. Queremos descobrir qual é o comprimento total da trajetória que essa partícula percorre nos primeiros 4 segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas e integrais, para encontrar a velocidade e depois a distância percorrida.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, calculamos:
Aqui, derivamos para obter e para obter .

Passo 3

Para encontrar a distância total percorrida, precisamos verificar se a partícula muda de direção nos primeiros 4 segundos. Isso acontece quando a velocidade é igual a zero. Vamos resolver :
Isso nos dá duas soluções: segundos e segundos. O tempo é o início do movimento, então precisamos considerar .

Passo 4

Agora, vamos verificar se está dentro dos 4 segundos que estamos analisando. Se , a partícula muda de direção dentro desse intervalo de tempo. Assumindo que isso seja verdade, teremos dois intervalos para calcular a distância percorrida:
  1. De a
  2. De a segundos

Passo 5

Vamos calcular a posição nos tempos críticos:
Para :
Para :

Passo 6

Para segundos:

Passo 7

Agora, vamos calcular a distância percorrida em cada intervalo:
  1. De a :
  1. De a segundos:
A distância total percorrida é a soma dessas duas partes:
â

Resposta

O comprimento total da trajetória percorrida pela partícula nos primeiros 4 segundos é:

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