A posição de uma partícula ao longo do eixo x depende do tempo conforme a equação
x(t)=A t-B t^2
sendo x dado em metros e t em segundos.
Para o que segue, sejam 4 e 1 , respectivamente, os valores das constantes A e B em unidades do SI. Qual a aceleração da partícula em t=2 e t=4 segundos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a posição de uma partícula ao longo do eixo x dependendo do tempo, usando a equação x(t) = A t - B t^2. Aqui, A e B são constantes dadas como 4 e 1, respectivamente, nas unidades do SI (Sistema Internacional). O que a gente precisa achar é a aceleração da partícula nos instantes de t = 2 e t = 4 segundos. Para isso, vamos precisar lembrar que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade, ou seja, quão rápido a velocidade está mudando. Matematicamente, se a posição x(t) é uma função do tempo, a velocidade v(t) é a primeira derivada de x(t) em relação a t, e a aceleração a(t) é a segunda derivada.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada da posição para encontrar a velocidade. A função dada é:
x(t) = A t - B t^2
Derivando em relação a t, temos:
v(t) = dxdt = A - 2B t

Passo 4

Agora, vamos derivar a velocidade para encontrar a aceleração. Derivando v(t) em relação a t, temos:
a(t) = dvdt = -2B
Olha só, a aceleração é constante e depende apenas do valor de B.

Passo 5

Como a aceleração a(t) = -2B é constante, ela não varia com o tempo. Sabendo que B = 1, substituímos na equação:
a(t) = -2 times 1 = -2 , m/s^2
Então, independente do valor de t, a aceleração sempre será -2 , m/s^2.

Resposta

A aceleração da partícula é -2 , m/s^2 tanto em t = 2 segundos quanto em t = 4 segundos.

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