A caixa de Einstein. Considere uma caixa cúbica de lado
e massa de repouso
flutuando livremente no vácuo. Suponha que uma certa quantidade
de energia seja transferida de uma face da caixa para a face oposta sob a forma de radiação eletromagnética. Determine a variação na posição do centro de massa da caixa em relação a um sistema inercial fixo nas estrelas. Qual o significado fisico do resultado desta
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma caixa cúbica com lado
e massa de repouso
, que está flutuando no vácuo. De repente, uma quantidade de energia
é transferida de uma face da caixa para a face oposta na forma de radiação eletromagnética. A gente precisa descobrir como essa transferência de energia faz o centro de massa da caixa mudar de posição em relação a um sistema inercial fixo nas estrelas. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de conservação do momento e de energia da relatividade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, no vácuo, sem forças externas atuando na caixa, o centro de massa deveria permanecer em repouso ou se mover a uma velocidade constante, de acordo com a primeira lei de Newton. Porém, aqui ocorre uma transferência de energia dentro da própria caixa, o que pode afetar o centro de massa devido à emissão de radiação.
Passo 3
Vamos considerar que a energia
transferida como radiação tem uma massa equivalente, de acordo com a famosa equação de Einstein
. Então, a massa associada a essa energia é
, onde
é a velocidade da luz.
Passo 4
Quando a energia
é emitida de uma face para a outra, a caixa pode sofrer um pequeno deslocamento para compensar a conservação do momento. Como a energia está sendo transportada de um lado para o outro, o centro de massa pode se deslocar para manter o sistema equilibrado.
Passo 5
Para calcular a variação na posição do centro de massa
, podemos usar o princípio da conservação do momento linear. A energia transferida como radiação carrega um momento
. Esse momento deve ser compensado por um deslocamento da massa da caixa.
Então, o deslocamento da caixa será:
Resposta
A variação na posição do centro de massa da caixa é
. Fisicamente, isso significa que a transferência de energia na forma de radiação provoca um pequeno deslocamento do centro de massa da caixa para manter a conservação do momento no sistema.
Exercícios relacionados
T.L. para o quadrimomentum. Uma partícula de massa de repouso
desloca-se com velocidade
no sentido positivo dos
de um sistema de referência inercial
. Nesse referencial as componentes do seu momentum linear relativístico são
e
, onde
. A sua energia relativística total é
. Num sistema
que desloca-se no sentido positivo do eixo
com uma velocidade
constante, sendo
, as componentes do momentum relativístico da partícula são dadas por
e
, enquanto que a energia relativística total é
. Utilize as T.L. das velocidades para determinar
e então mostre que
. Em seguida substitua estes resultados para
e
no lado direito das expressões de
para mostrar que
Defina quadrivetores
e
. Utilizando uma representação matricial em que esses vetores podem ser escritos como matrizes colunas, obtenha matrizes de transformação
, com
, tais que
x e
. Observe que
, sendo este o fato que motiva a descrição relativística do espaço-tempo e do momentum-energia em termos de quadrivetores.
Covariância da equação de onda da luz. A equação de onda para um feixe de luz que se propaga na direção
pode ser escrita na forma
, onde
representa componentes dos campos elétrico e magnético. Esta é a descrição para um observador num sistema inercial
provido de coordenadas
. Utilizando as transformações de Lorentz, mostre que a equação de onda na perspectiva de um observador em um sistema de referência
que se move em relação a
com velocidade
se escreve
, onde
. Qual o significado fisico deste resultado?
A posição de uma partícula ao longo do eixo
depende do tempo conforme a equação
sendo
dado em metros e
em segundos.
Para o que segue, sejam 4 e 1 , respectivamente, os valores das constantes e
em unidades do SI. Qual a velocidade da partícula em
segundos?
Para o que segue, sejam 4 e 1 , respectivamente, os valores das constantes
A posição de uma partícula ao longo do eixo
depende do tempo conforme a equação
sendo
dado em metros e
em segundos.
Para o que segue, sejam 4 e 1 , respectivamente, os valores das constantes e
em unidades do SI. Qual a aceleração da partícula em
segundos?
Para o que segue, sejam 4 e 1 , respectivamente, os valores das constantes