A caixa de Einstein. Considere uma caixa cúbica de lado L e massa de repouso M flutuando livremente no vácuo. Suponha que uma certa quantidade De de energia seja transferida de uma face da caixa para a face oposta sob a forma de radiação eletromagnética. Determine a variação na posição do centro de massa da caixa em relação a um sistema inercial fixo nas estrelas. Qual o significado fisico do resultado desta

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma caixa cúbica com lado e massa de repouso , que está flutuando no vácuo. De repente, uma quantidade de energia é transferida de uma face da caixa para a face oposta na forma de radiação eletromagnética. A gente precisa descobrir como essa transferência de energia faz o centro de massa da caixa mudar de posição em relação a um sistema inercial fixo nas estrelas. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de conservação do momento e de energia da relatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, no vácuo, sem forças externas atuando na caixa, o centro de massa deveria permanecer em repouso ou se mover a uma velocidade constante, de acordo com a primeira lei de Newton. Porém, aqui ocorre uma transferência de energia dentro da própria caixa, o que pode afetar o centro de massa devido à emissão de radiação.

Passo 3

Vamos considerar que a energia transferida como radiação tem uma massa equivalente, de acordo com a famosa equação de Einstein . Então, a massa associada a essa energia é , onde é a velocidade da luz.

Passo 4

Quando a energia é emitida de uma face para a outra, a caixa pode sofrer um pequeno deslocamento para compensar a conservação do momento. Como a energia está sendo transportada de um lado para o outro, o centro de massa pode se deslocar para manter o sistema equilibrado.

Passo 5

Para calcular a variação na posição do centro de massa De, podemos usar o princípio da conservação do momento linear. A energia transferida como radiação carrega um momento . Esse momento deve ser compensado por um deslocamento da massa da caixa.
Então, o deslocamento da caixa será:

Resposta

A variação na posição do centro de massa da caixa é . Fisicamente, isso significa que a transferência de energia na forma de radiação provoca um pequeno deslocamento do centro de massa da caixa para manter a conservação do momento no sistema.

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T.L. para o quadrimomentum. Uma partícula de massa de repouso m0 desloca-se com velocidade v no sentido positivo dos x de um sistema de referência inercial S. Nesse referencial as componentes do seu momentum linear relativístico são px=gammav m0 v e py=pz=0, onde gammav=(1-v^2 / c^2)^-1 / 2. A sua energia relativística total é E=gammav m0 c^2. Num sistema S^prime que desloca-se no sentido positivo do eixo x com uma velocidade V constante, sendo V, as componentes do momentum relativístico da partícula são dadas por px^prime=gammav^prime m0 v^prime e py^prime=pz^prime=0, enquanto que a energia relativística total é E^prime=gammav^prime m0 c^2. Utilize as T.L. das velocidades para determinar v^prime e então mostre que gammav^prime=gammav gammaV(1-V vc^2). Em seguida substitua estes resultados para v^prime e gammav^prime no lado direito das expressões de (px^prime, py^prime, pz^prime, E^prime) para mostrar que
px^prime=gammaV(px-V E / c^2), py^prime=py, pz^prime=pz, E^prime=gammaV(E-V px)
Defina quadrivetores x equiv(x, y, z, c t) e p equiv(px, py, pz, E / c). Utilizando uma representação matricial em que esses vetores podem ser escritos como matrizes colunas, obtenha matrizes de transformação T1,2(gammaV, beta), com beta=V / c, tais que x^prime=T1 x e p^prime=T2 p. Observe que T1=T2, sendo este o fato que motiva a descrição relativística do espaço-tempo e do momentum-energia em termos de quadrivetores.
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Para o que segue, sejam 4 e 1 , respectivamente, os valores das constantes A e B em unidades do SI. Qual a velocidade da partícula em t=2 e t=4 segundos?
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