A posição de uma partícula ao longo do eixo x depende do tempo conforme a equação
x(t)=A t-B t^2
sendo x dado em metros e t em segundos.
Para o que segue, sejam 4 e 1 , respectivamente, os valores das constantes A e B em unidades do SI. Qual a velocidade da partícula em t=2 e t=4 segundos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a posição de uma partícula ao longo do eixo x(t) = A t - B t^2 em função do tempo . A equação dada é:
Aqui, está em metros e em segundos. As constantes são e . Nosso objetivo é encontrar a velocidade da partícula nos instantes e segundos. Para isso, precisamos entender como relacionar a posição com a velocidade, que é a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade v(t) = dxdt é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matematicamente, isso é representado pela derivada de em relação a :
Então, nosso próximo passo é derivar a expressão de .

Passo 3

Vamos derivar v(t) = A - 2B t em relação a . A derivada de é simplesmente , e a derivada de é . Portanto:

Passo 4

Agora, substituímos os valores das constantes v(t) = 4 - 2 times 1 times t = 4 - 2t e na expressão da velocidade:

Passo 5

Com a expressão da velocidade pronta, podemos calcular nos momentos específicos solicitados. Primeiro, para v(2) = 4 - 2 times 2 = 4 - 4 = 0 , m/s segundos:

Passo 6

Em seguida, para v(4) = 4 - 2 times 4 = 4 - 8 = -4 , m/s segundos:

Resposta

A velocidade da partícula é em segundos e em segundos.

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