A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo y é dada por y=5 t^3-3 t^2+4 t, onde y está em metros e t em segundos. Determine
(e) Qual é a velocidade positiva máxima alcançada pela partícula

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a posição de uma partícula ao longo do eixo y dada pela função , onde está em metros e em segundos. A matéria envolvida aqui é Cinemática, especificamente o estudo de movimento utilizando funções de posição. Para resolver este exercício, vamos precisar calcular a velocidade da partícula e determinar qual é a velocidade positiva máxima que ela atinge.

Passo 2

A velocidade de uma partícula é a derivada da sua posição em relação ao tempo. Ou seja, se temos v(t) = dydt = 15t^2 - 6t + 4 , a velocidade será:

Passo 3

Para encontrar a velocidade máxima, precisamos analisar o comportamento da função velocidade . Como esta é uma função quadrática com coeficiente positivo ( ), o gráfico é uma parábola que se abre para cima. Isso significa que ela possui um ponto de mínimo, mas não um máximo finito — a velocidade tende a infinito conforme o tempo aumenta.

Passo 4

Vamos encontrar o ponto onde a velocidade é mínima, já que a função não tem um máximo finito. Para isso, calculamos a derivada da função velocidade, que é a aceleração:
a(t) = dvdt = 30t - 6
Igualamos a aceleração a zero para encontrar os pontos críticos:
30t - 6 = 0 Rightarrow t = 630 = 0,2 segundos

Passo 5

Substituímos v(0,2) = 15(0,2)^2 - 6(0,2) + 4 = 15 times 0,04 - 1,2 + 4 = 0,6 - 1,2 + 4 = 3,4 m/s na função velocidade para encontrar o valor mínimo da velocidade:
Este é o valor mínimo da velocidade. Como a parábola se abre para cima, a velocidade aumenta indefinidamente para valores de maiores que 0,2 segundos.

Resposta

A partícula não possui uma velocidade máxima finita positiva, pois a velocidade aumenta indefinidamente conforme o tempo cresce.

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