A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo
é dada por
, onde
e
. Considere o intervalo de tempo
até
e calcule (b) a velocidade instantânea em
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa questão juntos. Temos uma partícula que se move ao longo do eixo $ x $ com a posição dada por $ x = A + B t^{3} $, onde $ A = 9,75, cm $ e $ B = 1,50, cm/s^{3} $. Queremos encontrar a velocidade instantânea dessa partícula no instante $ t = 2, s $. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, mais especificamente a derivada da posição em relação ao tempo, que nos dá a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a velocidade instantânea de uma partícula é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é representado pela derivada da função posição $ x(t) $ em relação a $ t $:
Então, nosso objetivo é calcular essa derivada para a função $ x = A + B t^{3} $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ x(t) = A + B t^{3} $. Lembre-se que a derivada de uma constante é zero e a derivada de $ t^{n} $ é $ n t^{n-1} $.
Aplicando isso:
Portanto, a expressão para a velocidade instantânea é:
Passo 4
Agora, substituímos os valores conhecidos na expressão da velocidade. Sabemos que $ B = 1,50, cm/s^{3} $ e queremos encontrar a velocidade em $ t = 2, s $.
Substituindo:
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculamos $ (2, s)^{2} $:
Agora, multiplicamos por $ 3 \times 1,50, cm/s^{3} $:
Resposta
A velocidade instantânea da partícula em $ t = 2, s $ é de $ 18, cm/s $.