Um garoto enche o pneu de sua bicicleta num dia em que a temperatura é 300 K. Encontre a máxima temperatura do ar na bomba de bicicleta se a pressão no pneu é de 1.67 atm e o ar na bomba é considerado comprimido adiabaticamente. Para o ar, gamma=1.4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um garoto que está enchendo o pneu da bicicleta num dia onde a temperatura é de 300 K. A pressão final no pneu é 1,67 atm e o ar na bomba está sendo comprimido de maneira adiabática, ou seja, sem troca de calor com o ambiente. A gente precisa descobrir qual é a máxima temperatura que o ar atinge na bomba durante esse processo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre processos adiabáticos e as relações entre pressão, volume e temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um processo adiabático. Em termodinâmica, um processo adiabático é aquele em que não há transferência de calor entre o sistema e o ambiente. Isso significa que toda a energia envolvida na compressão do ar na bomba é usada para aumentar a temperatura do ar, já que não há calor sendo transferido para fora ou para dentro do sistema.

Passo 3

Para processos adiabáticos, existe uma relação específica entre pressão §, volume (V) e temperatura (T) do gás. Essa relação é dada pela equação:
PV^gamma = constante
Além disso, podemos relacionar a temperatura e a pressão usando outra equação derivada da primeira:
T2T1 = ( P2P1 )^gamma - 1gamma
Aqui, $ \gamma $ é a razão entre as capacidades térmicas a pressão constante e a volume constante, que para o ar é 1,4.

Passo 4

Vamos aplicar essa equação para encontrar a temperatura final $ T_2 $. Sabemos que $ T_1 = 300 , K $, $ P_2 = 1,67 , atm $, e supondo que a pressão inicial $ P_1 $ seja 1 atm (pressão atmosférica padrão).
Substituindo os valores na equação:
T2

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação passo a passo.
Primeiro, calculamos o expoente:
1,4 - 11,4 = 0,41,4 approx 0,2857
Depois, elevamos a razão das pressões a esse expoente:
1,67^0,2857 approx 1,164
Agora, multiplicamos por 300 K para encontrar $ T_2 $:
T2

Resposta

A máxima temperatura do ar na bomba de bicicleta é aproximadamente $ 349,2 , K $.

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