Uma sala possui as seguintes dimensões: 10 pés times 12 pés times 14 pés. Uma mosca voa de um canto a outro, diametralmente oposto. © O comprimento da trajetória percorrida pela mosca poderia ser menor do que essa distância?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sala que mede 10 pés de comprimento, 12 pés de largura e 14 pés de altura. Uma mosca está voando de um canto da sala para o canto que fica exatamente do outro lado, bem na diagonal oposta. A pergunta é: será que o caminho que a mosca pode percorrer nessa sala pode ser menor do que a distância direta entre esses dois cantos?
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria espacial, especificamente o conceito de distância dentro de um espaço tridimensional e, possivelmente, analisar caminhos alternativos na superfície da sala.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância direta entre os dois cantos opostos da sala. Imagine que a sala é como um paralelepípedo com as dimensões dadas. A distância direta, ou seja, a linha reta de um canto ao outro, pode ser encontrada usando a fórmula da distância no espaço 3D:
d = raiza^2 + b^2 + c^2
Onde:
  • $ a = 10 $ pés
  • $ b = 12 $ pés
  • $ c = 14 $ pés

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
d = raiz10^2 + 12^2 + 14^2
d = raiz100 + 144 + 196
d = raiz440
d approx 20,98 pés é
Então, a distância direta entre os dois cantos é aproximadamente 20,98 pés.

Passo 4

Agora, vamos pensar se existe um caminho alternativo que a mosca poderia seguir e que seja menor do que essa distância direta. Uma forma de fazer isso é considerar um caminho que se move pela superfície da sala, “desdobrando” a sala para achar o caminho mais curto na superfície.
Isso envolve imaginar a sala como um objeto 3D e “abrir” suas faces para transformá-la em uma superfície 2D. Assim, podemos aplicar a geometria plana para encontrar o menor caminho possível na superfície.

Passo 5

Vamos tentar desdobrar a sala de uma maneira que conecte os dois cantos opostos. Uma possibilidade é considerar duas das dimensões, por exemplo, 10 pés e 12 pés, como as dimensões de um retângulo e a altura de 14 pés como outra dimensão.
Ao desenrolar a sala, podemos formar um retângulo maior, onde um dos lados é a soma de duas das dimensões originais.

Passo 6

Depois de desdobrar, a nova dimensão do retângulo será:
  • Um lado: $ 10 + 12 = 22 $ pés
  • Outro lado: $ 14 $ pés
Agora, o caminho da mosca na superfície transformada é a diagonal desse novo retângulo.

Passo 7

Vamos calcular essa nova diagonal usando a fórmula da distância em 2D:
d' = raiz(22)^2 + (14)^2
d' = raiz484 + 196
d' = raiz680
d' approx 26,08 pés é

Passo 8

Comparando os dois caminhos:
  • Distância direta no espaço: aproximadamente 20,98 pés
  • Caminho na superfície: aproximadamente 26,08 pés

Resposta

Não, o comprimento da trajetória percorrida pela mosca na superfície da sala não é menor do que a distância direta entre os cantos opostos. A distância direta é de aproximadamente 20,98 pés, enquanto qualquer caminho na superfície seria maior.

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