Uma sala possui as seguintes dimensões: 10 pés
pés
14 pés. Uma mosca voa de um canto a outro, diametralmente oposto. © O comprimento da trajetória percorrida pela mosca poderia ser menor do que essa distância?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sala que mede 10 pés de comprimento, 12 pés de largura e 14 pés de altura. Uma mosca está voando de um canto da sala para o canto que fica exatamente do outro lado, bem na diagonal oposta. A pergunta é: será que o caminho que a mosca pode percorrer nessa sala pode ser menor do que a distância direta entre esses dois cantos?
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria espacial, especificamente o conceito de distância dentro de um espaço tridimensional e, possivelmente, analisar caminhos alternativos na superfície da sala.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a distância direta entre os dois cantos opostos da sala. Imagine que a sala é como um paralelepípedo com as dimensões dadas. A distância direta, ou seja, a linha reta de um canto ao outro, pode ser encontrada usando a fórmula da distância no espaço 3D:
Onde:
- $ a = 10 $ pés
- $ b = 12 $ pés
- $ c = 14 $ pés
Passo 3
Vamos substituir os valores na fórmula:
Então, a distância direta entre os dois cantos é aproximadamente 20,98 pés.
Passo 4
Agora, vamos pensar se existe um caminho alternativo que a mosca poderia seguir e que seja menor do que essa distância direta. Uma forma de fazer isso é considerar um caminho que se move pela superfície da sala, “desdobrando” a sala para achar o caminho mais curto na superfície.
Isso envolve imaginar a sala como um objeto 3D e “abrir” suas faces para transformá-la em uma superfície 2D. Assim, podemos aplicar a geometria plana para encontrar o menor caminho possível na superfície.
Passo 5
Vamos tentar desdobrar a sala de uma maneira que conecte os dois cantos opostos. Uma possibilidade é considerar duas das dimensões, por exemplo, 10 pés e 12 pés, como as dimensões de um retângulo e a altura de 14 pés como outra dimensão.
Ao desenrolar a sala, podemos formar um retângulo maior, onde um dos lados é a soma de duas das dimensões originais.
Passo 6
Depois de desdobrar, a nova dimensão do retângulo será:
- Um lado: $ 10 + 12 = 22 $ pés
- Outro lado: $ 14 $ pés
Agora, o caminho da mosca na superfície transformada é a diagonal desse novo retângulo.
Passo 7
Vamos calcular essa nova diagonal usando a fórmula da distância em 2D:
Passo 8
Comparando os dois caminhos:
- Distância direta no espaço: aproximadamente 20,98 pés
- Caminho na superfície: aproximadamente 26,08 pés
Resposta
Não, o comprimento da trajetória percorrida pela mosca na superfície da sala não é menor do que a distância direta entre os cantos opostos. A distância direta é de aproximadamente 20,98 pés, enquanto qualquer caminho na superfície seria maior.