A posição de uma partícula movendo-se ao longo do eixo x é dada por x=12 t^2-2 t^3, onde t está em segundos e x em metros. Determine: d) Construa o gráfico X times t para essa partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a posição de uma partícula ao longo do eixo x é dada pela função x = 12t^2 - 2t^3, onde t está em segundos e x em metros. Nosso objetivo aqui é construir o gráfico de x em função de t, ou seja, o gráfico x times t. Para isso, vamos precisar entender como essa função se comporta ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que nos foi dada: x = 12t^2 - 2t^3. Essa é uma função polinomial de terceiro grau, também conhecida como cúbica. Funções cúbicas podem ter curvas mais complexas, incluindo pontos de inflexão e mudanças na direção do movimento.

Passo 3

Para construir o gráfico, é útil encontrar alguns pontos-chave que a função atravessa. Vamos calcular a posição x para alguns valores de t. Vamos escolher valores de t como 0, 1, 2, 3, 4 e 5 segundos.
  • Para t = 0:
    x = 12(0)^2 - 2(0)^3 = 0
  • Para t = 1:
    x = 12(1)^2 - 2(1)^3 = 12 - 2 = 10
  • Para t = 2:
    x = 12(2)^2 - 2(2)^3 = 12 times 4 - 2 times 8 = 48 - 16 = 32
  • Para t = 3:
    x = 12(3)^2 - 2(3)^3 = 12 times 9 - 2 times 27 = 108 - 54 = 54
  • Para t = 4:
    x = 12(4)^2 - 2(4)^3 = 12 times 16 - 2 times 64 = 192 - 128 = 64
  • Para t = 5:
    x = 12(5)^2 - 2(5)^3 = 12 times 25 - 2 times 125 = 300 - 250 = 50

Passo 4

Agora que temos alguns pontos, vamos plotar esses valores no gráfico x times t:
t (s) x (m)
0 0
1 10
2 32
3 54
4 64
5 50

Passo 5

Com esses pontos, podemos desenhar uma curva que passa por eles. Observamos que a posição x aumenta até t = 4 segundos, atingindo 64 metros, e depois começa a diminuir para t = 5 segundos, chegando a 50 metros. Isso indica que a partícula atinge uma posição máxima e depois retorna um pouco.

Passo 6

Além disso, podemos analisar o comportamento geral da função x = 12t^2 - 2t^3. Como a função é cúbica e o coeficiente de t^3 é negativo, a curva inicialmente sobe, atinge um ponto máximo e depois desce, o que confirma o que observamos nos pontos calculados.

Resposta

O gráfico x times t para a partícula é uma curva que começa na origem, sobe atingindo um máximo em t = 4 segundos com x = 64 metros, e depois desce para t = 5 segundos com x = 50 metros. A forma geral da curva é ascendente inicialmente, atinge um pico e depois diminui, refletindo a função x = 12t^2 - 2t^3.

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