A posição de uma partícula em movimento retilíneo varia com o tempo de acordo com a relação x(t)=80-6 t^2+t^3, onde x e dado em cm e t em segundos. Em que instante a velocidade e nula? Onde se encontra a partícula neste momento e qual o valor da sua aceleração?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a posição de uma partícula dada por , onde está em centímetros e em segundos. Queremos encontrar o instante em que a velocidade é nula, onde a partícula está nesse momento e qual a aceleração dela. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo básico, especificamente derivadas, porque a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade v(t) = dxdt = ddt(80 - 6t^2 + t^3) = 0 - 12t + 3t^2 = 3t^2 - 12t é a primeira derivada da posição em relação ao tempo . Então, vamos derivar :

Passo 3

Queremos saber quando a velocidade é zero. Então, vamos resolver a equação 3t^2 - 12t = 0 :
3t(t - 4) = 0
Podemos fatorar:
t = 0 ou t = 4
Isso nos dá duas soluções:

Passo 4

No instante , a partícula está no início do movimento. Mas geralmente estamos interessados no movimento após o início, então vamos considerar segundos como o instante em que a velocidade é nula.

Passo 5

Agora, vamos descobrir onde a partícula está nesse momento. Para isso, substituímos x(4) = 80 - 6(4)^2 + (4)^3 = 80 - 6(16) + 64 = 80 - 96 + 64 = 48 , cm na função posição :

Passo 6

Por fim, vamos calcular a aceleração da partícula nesse instante. A aceleração a(t) = dvdt = ddt(3t^2 - 12t) = 6t - 12 é a derivada da velocidade a(4) = 6(4) - 12 = 24 - 12 = 12 , cm/s^2 em relação ao tempo:
Substituindo :

Resposta

A velocidade da partícula é nula no instante segundos. Nesse momento, a partícula está na posição cm e a sua aceleração é de .

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